Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna

[madoris]

Witam. Mam problem z takim oto zadaniem:

\(\displaystyle{ X=(X_{1}, ... X_{n})}\) jest próbą prostą z rozkładu o gęstości względem miary Lebesque'a:

\(\displaystyle{ f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}\:\mathbb{I}_{(\theta,\infty)}(x),\ \theta \in \left[\frac{1}{2},1\right)}\)

Mam znaleźć statystykę dostateczną, minimalną dostateczną i stwierdzić czy jest ona zupełna.

Szukam statystyki dostatecznej z kryterium faktoryzacji:

\(\displaystyle{ f(\underline{x}; \theta)=\left(\frac{1}{\theta}\right)^{n}e^{-\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})-n\theta}{\theta}}\:\mathbb{I}_{(\theta,\infty)}(x_{(1)})}\)

No i stąd dostaję \(\displaystyle{ T(X)= (T_{1},T_{2})=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}, X_{(1)}\right)}\)

Czy dobrze myślę? Nie pasuje mi to, że dla jednoparametrowego \(\displaystyle{ \theta}\) dostaję dwuwymiarową statystykę dostateczną. I nie wiem, jak stąd ruszyć w stronę minimalnej statystyki dostatecznej. Intuicyjnie wydaje mi się, że minimalną statystyką powinna być \(\displaystyle{ T_{2}}\) , ale intuicja bywa zwodnicza i wolałbym się dowiedzieć, w którą stronę pchnąć rozumowanie.

[janusz47]

Stosujemy twierdzenie:

1.
Jeżeli \(\displaystyle{ \{P(\theta), \theta \in \Theta \}}\) jest wykładniczą rodziną rozkładów z
gestościami:

\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\},}\)

to

\(\displaystyle{ (T_{1}(X), T_{2}(X), ...,T_{k }(X))}\)

jest (k-wymiarową) minimalną statystyka dostateczną.

2.

Korzystamy z definicji statystyki zupełnej.

[YokuneRuko]

Dlaczego możemy to zrobić? W funkcji gęstości są funkcje charakterystyczne zbioru, których przedział zależy od parametru \(\displaystyle{ \theta}\), a z tego co słyszałem to rodzina nie jest wykładniczą rodziną rozkładów, gdy nośnik zależy od parametru.

Dlaczego więc stosujemy twierdzenia dla rodzin wykładniczych, jeśli nie mamy rodziny wykładniczej?

[janusz47]

Jęśli każdy rozkład \(\displaystyle{ P_{\theta}}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f}\) (względem tej samej miary) postaci:

\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\}.}\)