Witam. Mam problem z takim oto zadaniem:
\(\displaystyle{ X=(X_{1}, ... X_{n})}\) jest próbą prostą z rozkładu o gęstości względem miary Lebesque'a:
\(\displaystyle{ f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}\:\mathbb{I}_{(\theta,\infty)}(x),\ \theta \in \left[\frac{1}{2},1\right)}\)
Mam znaleźć statystykę dostateczną, minimalną dostateczną i stwierdzić czy jest ona zupełna.
Szukam statystyki dostatecznej z kryterium faktoryzacji:
\(\displaystyle{ f(\underline{x}; \theta)=\left(\frac{1}{\theta}\right)^{n}e^{-\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})-n\theta}{\theta}}\:\mathbb{I}_{(\theta,\infty)}(x_{(1)})}\)
No i stąd dostaję \(\displaystyle{ T(X)= (T_{1},T_{2})=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}, X_{(1)}\right)}\)
Czy dobrze myślę? Nie pasuje mi to, że dla jednoparametrowego \(\displaystyle{ \theta}\) dostaję dwuwymiarową statystykę dostateczną. I nie wiem, jak stąd ruszyć w stronę minimalnej statystyki dostatecznej. Intuicyjnie wydaje mi się, że minimalną statystyką powinna być \(\displaystyle{ T_{2}}\) , ale intuicja bywa zwodnicza i wolałbym się dowiedzieć, w którą stronę pchnąć rozumowanie.
Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 8 maja 2014, o 00:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna
Ostatnio zmieniony 4 lut 2018, o 00:52 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne od razu koduj w LaTeXu, a nie „po kawałku”.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Całe wyrażenia matematyczne od razu koduj w LaTeXu, a nie „po kawałku”.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna
Stosujemy twierdzenie:
1.
Jeżeli \(\displaystyle{ \{P(\theta), \theta \in \Theta \}}\) jest wykładniczą rodziną rozkładów z
gestościami:
\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\},}\)
to
\(\displaystyle{ (T_{1}(X), T_{2}(X), ...,T_{k }(X))}\)
jest (k-wymiarową) minimalną statystyka dostateczną.
2.
Korzystamy z definicji statystyki zupełnej.
1.
Jeżeli \(\displaystyle{ \{P(\theta), \theta \in \Theta \}}\) jest wykładniczą rodziną rozkładów z
gestościami:
\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\},}\)
to
\(\displaystyle{ (T_{1}(X), T_{2}(X), ...,T_{k }(X))}\)
jest (k-wymiarową) minimalną statystyka dostateczną.
2.
Korzystamy z definicji statystyki zupełnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 29 sty 2017, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
- Podziękował: 2 razy
Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna
Dlaczego możemy to zrobić? W funkcji gęstości są funkcje charakterystyczne zbioru, których przedział zależy od parametru \(\displaystyle{ \theta}\), a z tego co słyszałem to rodzina nie jest wykładniczą rodziną rozkładów, gdy nośnik zależy od parametru.
Dlaczego więc stosujemy twierdzenia dla rodzin wykładniczych, jeśli nie mamy rodziny wykładniczej?
Dlaczego więc stosujemy twierdzenia dla rodzin wykładniczych, jeśli nie mamy rodziny wykładniczej?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Statystyka dostateczna, minimalna dostateczna i zupełna
Jęśli każdy rozkład \(\displaystyle{ P_{\theta}}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f}\) (względem tej samej miary) postaci:
\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\}.}\)
\(\displaystyle{ f (x; \theta)= exp\{\sum_{j=1}^{k}\theta_{j} T_{j}(x) - b(\theta)\}.}\)