Dystrybuanta różnicy zmiennych losowych

[EternalSH]

Witam,
potrzebuję pomocy z następującym zadaniem: Wyznacz dystrybuantę zmiennej Z, gdzie:

\(\displaystyle{ X \sim \text{Unif}([0, 1]) \\
Y \sim \text{Unif}([0, 1]) \\
Z = X - Y}\)

Zabieram się do tego tak:
\(\displaystyle{ F_z(t) = \int\limits_{x - y \leq t} f(x, y)\: dy dx = \int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{t + y} dx dy = \int\limits_{0}^{t} (t + y)\: dy = \left[yt + \frac{1}{2}y^2\right]\limits_{0}^{t} = \frac{3}{2}t^2}\)

Ponieważ jest to rozkład jednostajny, zakładam, że:

\(\displaystyle{ x \in (0, 1) \wedge y \in (0, 1) \Rightarrow z \in (-1, 1)}\)

W tym momencie mam problem - to, co policzyłem nie jest dystrybuantą:
\(\displaystyle{ F_z(-1) = \frac{3}{2} \\
F_z(0) = 0 \\
F_z(1) = \frac{3}{2}}\)

Proszę o wskazówkę, gdzie popełniam błąd.

[janusz47]

Musimy uwzględnić dwa przypadki (rysunek):

1)

\(\displaystyle{ -1 < t <0}\)

\(\displaystyle{ F_{Z}(t)= ...}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}t^2 +t +\frac{1}{2}}\)

2)

\(\displaystyle{ 0\leq t < 1}\)

\(\displaystyle{ F_{Z}(t) =...}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}t^2 +t +\frac{1}{2}.}\)

[EternalSH]

Dziękuję. Wydaje mi się, że teraz udało mi się przejść dalej:
1) jeśli \(\displaystyle{ t}\) jest ujemne, to całkuję trójkąt \(\displaystyle{ (0, 1),\: (0, -t),\: (1+t, 1)}\) :
\(\displaystyle{ F_{Z-} = \int\limits_{0}^{1+t} \int\limits_{x-t}^{1} dy dx = \int\limits_{0}^{1+t} (1 - x + t)\: dx = \left[x(1+t) - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1+t} = (1+t)^2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}}\)

2) jeśli \(\displaystyle{ t}\) jest nieujemne, całkuję część wspólną kwadratu \(\displaystyle{ 1 \times 1}\) (zakres zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ) i pola nad prostą \(\displaystyle{ y = x - t}\) . Obliczam jako różnicę kwadratu od wycinka trójkątnego \(\displaystyle{ (t, 0), (1, 0), (1, t)}\) :
\(\displaystyle{ F_{Z+} = 1 - \int\limits_{t}^{1} \int\limits_{0}^{x-t} dy dx = 1 - \int\limits_{t}^{1} (x + t)\: dx = 1 + \int\limits_{1}^{t} (x + t)\: dx = 1 + \left[ \frac{1}{2} x^2 - tx\right]_{1}^{t} = 1 + \frac{1}{2}t^2 - t^2 - \frac{1}{2} + t = \frac{-1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}}\)

Jako całość:

\(\displaystyle{ F_Z(t) = \begin{cases} 0 & \text{gdy } -1 \geq t \\
\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} & \text{gdy } -0 > t > -1 \\
\frac{-1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} & \text{gdy } 1 > t \geq 0 \\
1 & \text{gdy } t \geq 1\end{cases}}\)

[janusz47]

Super.