Statystyka zupełna

[ola_air]

Sprawdzić, czy statystyka \(\displaystyle{ (X_{(1)} ... X_{(n)} )}\) jest statystyką zupełną dla rozkładu \(\displaystyle{ U(-a, a),\:a>0}\) .

[janusz47]

Z definicji Lehmanna-Scheffe:

Statystyka \(\displaystyle{ T}\) jest dostateczną statystyką zupełną, gdy spełniona jest implikacja:

\(\displaystyle{ \forall_{\theta \in \Theta} E_{\theta}f(T)=0 \rightarrow f(t) =0, (\mathcal{P} p.w.)}\)

Niech \(\displaystyle{ f}\) oznacza dowolna funkcję taką, że \(\displaystyle{ E[f(s)]=0, \ \ a>0.}\)

Statystyka \(\displaystyle{ S= X_{(n)}}\) ma rozkład:

\(\displaystyle{ f_{S}= \frac{n}{(2a)^{n}}s^{n-1}\textbf 1_{(-a, a)}}\)

\(\displaystyle{ 0 = E[f(s)] = \int_{-a}^{a}f(s)\frac{n}{(2a)^{n}}s^{n}ds =\frac{n}{(2a)^{n}}\int_{-a}^{a} f(s)\cdot s^{n}ds}\)

\(\displaystyle{ \int_{-a}^{a} f(s)\cdot s^{n}ds =\int_{-a}^{0}f(s)\cdot s^{n}ds + \int_{0}^{a}f(s)\cdot s^{n}ds =0}\) (1)

Obliczając pochodną (1)

\(\displaystyle{ f(0) + f(a)a^{n} =0, \ \ a> 0.}\)

\(\displaystyle{ f(S) = f(X_{(n)}) = 0,}\)

Statystyka \(\displaystyle{ S = X_{(n)}}\) jest dostateczną statystyką zupełną rozkładu \(\displaystyle{ U[(-a,a)], \ \ a>0.}\)