sprawdzenie, czy statystyka jest dostateczna

[ola_air]

Sprawdzić, czy statystyki:

\(\displaystyle{ X_{(1)}}\) lub \(\displaystyle{ X_{(n)}}\) są dostateczne, rozkład \(\displaystyle{ U\left( -a,\right0)}\)
\(\displaystyle{ a>0}\)

dochodzę do takiej postaci:

\(\displaystyle{ p_{a}\left( x\right) = \frac{1}{ a^{n} } 1_{\left(-a, \right0) } x_{\left(1 \right) } 1_{\left( -a,\right0) } x_{\left(n \right) }}\)

i teraz korzystam z kryterium faktoryzacji.

Jak teraz z przedziałów 'wyrzucić' parametr a ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ p_{a}= \frac{1}{a}\textbf 1_{(-a, 0)}(x) , \ \ a>0.}\)

Łączna gęstość \(\displaystyle{ f}\) względem miary produktowej Lebesque'a:

\(\displaystyle{ f_{a}(x_{1},...x_{n}) = a^{-n}\prod_{i=1}^{n} \textbf 1_{( -a, 0)}(x_{i})= a^{-n}\cdot \textbf 1_{( -a, 0)}(x_{n:n})\cdot \textbf 1_{(-a, \infty)}(x_{1:n})}\)

Na mocy kryterium faktoryzacji statystyka

\(\displaystyle{ T (X_{1},...,X_{n}) = X_{n:n}}\) jest statystyką dostateczną.

[ola_air]

Rozumiem, natomiast statystyka \(\displaystyle{ X_{(1)}}\) dostateczną nie jest, czy tak?

[janusz47]

Tak!

[YokuneRuko]

Rozumiem, natomiast statystyka \(\displaystyle{ X_{(1)}}\) dostateczną nie jest, czy tak?

Tak!

Ale przecież \(\displaystyle{ \textbf 1_{(-a, \infty)}(X_{1:n})}\) zależy od parametru \(\displaystyle{ a}\), nie znaczy to więc, że właśnie faktoryzacja nam się nie udała?

Nie powinniśmy tego raczej zapisać jako

\(\displaystyle{ a^{-n}\cdot \textbf 1_{(-a, 0)}(X_{1:n}) \cdot\textbf 1_{( -\infty, 0)}(X_{n:n})}\),

i wtedy mamy \(\displaystyle{ \textbf 1_{( -\infty, 0)}(X_{n:n})}\) jako funkcję niezależną od parametru \(\displaystyle{ a}\), zaś reszta zależy, skąd bierzemy jako statystykę dostateczną \(\displaystyle{ T(X) = X_{1:n}}\), aby \(\displaystyle{ a^{-n} \textbf 1_{(-a,0)}(X_{1:n})}\) zależało od \(\displaystyle{ X}\) tylko poprzez wartość statystyki \(\displaystyle{ T(X)}\)?

Edit: Miałem na myśli \(\displaystyle{ T(X) = - X_{1:n}}\), bo \(\displaystyle{ a}\) jest ujemne.