Interpretacja max błędu szacunku

[ewa12345]

W celu oszacowania średniego poziomu zakupów klientów na pewnym stoisku, wylosowano \(\displaystyle{ 100}\) kwitów kasowych i otrzymano: średnią arytmetyczną \(\displaystyle{ 30\:\text{zł}}\) , oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ 12\:\text{zł}}\) .

b) obliczyć i podać interpretację maksymalnego błędu szacunku przy współczynniku ufności wynoszącym \(\displaystyle{ 0,98}\) .

Maksymalny błąd wyszedł mi \(\displaystyle{ 1,003752}\) , ale nie wie jak to zinterpretować. Pomoże ktoś??

[SlotaWoj]

Błąd obliczyłaś źle.

• \(\displaystyle{ P\left(\overline{X}-\sigma\le X\le\overline{X}+\sigma\right)=\Phi\left(1)-\Phi(-1)=2\left(\Phi\left(1)-0,5\right)=0,682689}\)

Ma być:

• \(\displaystyle{ P\left(\overline{X}-\Delta\overline{X}\leX\le\overline{X}+\Delta\overline{X}\right)=0,98}\)

Wyciągnij wnioski.

Wskazówka: Na pewno będzie \(\displaystyle{ \Delta\overline{X}>\sigma}\) . Ile?

[ewa12345]

Mam taki wzór na max błąd szacunku \(\displaystyle{ d= z \cdot \frac{s}{ \sqrt{n} }}\) , gdzie z odczytuje z tablicy układu normalnego czyli:

\(\displaystyle{ d= 0,83646 \cdot \frac{12}{ \sqrt{100}}=1,003752}\)

Nie rozumiem, gdzie tu błąd... Naprawdę jestem zielona w tym temacie...

[SlotaWoj]

Przepraszam, ja też popełniłem błąd.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\) , ale zmienna losowa \(\displaystyle{ \overline{X}}\) (estymator średniej) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)}\) . Zapisuje się to tak:

• \(\displaystyle{ X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\quad\quad\overline{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)}\)

Stąd dla:

• \(\displaystyle{ P\left(\overline{X}-d\le\mu\le\overline{X}+d\right)=\gamma}\)

gdzie: \(\displaystyle{ d=z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)

Jednak źle skorzystałaś z tablic zestandaryzowanego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0;1)}\) :

• \(\displaystyle{ 0,83646={\red{\Phi}}(0,98)}\)

a ma być (dla przedziałów dwustronnych):

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.4 0}z_\gamma={\dg{\mathbf{\Phi^{-1}}}}\left(\frac{1+\gamma}{2}\right)=\Phi(0,99)=2,32635}\)

stąd:

• \(\displaystyle{ d=2,32635\cdor\frac{12}{\sqrt{100}}=2,79162}\)

Interpretacja: Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,98}\) średni poziom zakupów wynosi \(\displaystyle{ 30\pm2,79\text{ zł}}\) .

[vegekotlet]

Proszę, wytłumacz mi jak poprawnie odczytywać tablice rozkładu normalnego.

Bo dla mnie też:
\(\displaystyle{ \Phi(0,98)=0,83646}\)
a
\(\displaystyle{ \Phi(0,99)= 0,83891}\)

[leg14]

SlotaWoj

Interpretacja: Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,98}\) średni poziom zakupów wynosi \(\displaystyle{ 30\pm2,79\text{ zł}}\) .

No to jest niepoprawna interpretacja. Przedziałów ufności (nie mówię o podejściu bayesowskim) nie interpretuje się jako probabilistyczny opis estymowanego parametru.

[ewa12345]

SlotaWoj

Interpretacja: Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,98}\) średni poziom zakupów wynosi \(\displaystyle{ 30\pm2,79\text{ zł}}\) .

No to jest niepoprawna interpretacja. Przedziałów ufności (nie mówię o podejściu bayesowskim) nie interpretuje się jako probabilistyczny opis estymowanego parametru.

To jak powinna brzmieć poprawna interpretacja?

[leg14]

Poprawna interpretacja przedziału ufności dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\) ze współczynnikiem ufności \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\) :
Jeżeli będziemy powtarzali doświadczenie wiele razy (nieskończenie wiele) to \(\displaystyle{ 1 - \alpha}\) procent otrzymywanych przedziałów będzie w sobie zawierało prawdziwą wartość \(\displaystyle{ \theta}\) . Subtelna różnica

[SlotaWoj]

Proszę, wytłumacz mi jak poprawnie odczytywać tablice rozkładu normalnego.

Bo dla mnie też:
\(\displaystyle{ \Phi}\) (0,98) =0,83646
a
\(\displaystyle{ \Phi}\) (0,99) = 0,83891

Argumentem funkcji \(\displaystyle{ \Phi}\) jest zestandaryzowana zmienna losowa, a wartością prawdopodobieństwa. Tu trzeba użyć funkcji odwrotnej \(\displaystyle{ \Phi^{-1}}\) .

Ma być:

• \(\displaystyle{ \Phi^{-1}(0,98)=2,05375}\) dla prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ 96\%}\)

lub

• \(\displaystyle{ \Phi^{-1}(0,98)=2,32635}\) dla prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ 98\%}\)

-- czwartek, 18 stycznia 2018, 22:33 --@Leg14
Masz rację. Świadczy o tym komentarz do przykładu ze str. 114 w Zbigniew Pawłowski, „Statystyka matematyczna”, PWN 1976.

Ale dla ekonomistów i marketingowców ten niuans jest mało istotny. Oni mają mimo wszystko uproszczoną statystykę matematyczną. Zwróć uwagę, że w zadaniu nie ma mowy o przedziale ufności, ale o błędzie szacunku średniej w pojedynczym badaniu. Dlatego uznałem, że taka uproszczona interpretacja jest dopuszczalna.

Gdy będziesz relacjonował zleceniodawcy np. wynik badania marketingowego i powiesz mu: Jak Pan zleci nam stukrotne wykonanie tego badania, to ... i tu Twoja interpretacja, to:

1. Facet tego nie zrozumie.
2. Nigdy już nie zleci żadnego badania.

Zwróć uwagę, jak w mediach (czyli w praktyce) interpretuje się badania sondażowe.