Weryfikowanie rozkładu normalnego

[aspartam]

Witam.
Mam problem z zadaniem:

Badano strukturę wieku inwestorów giełdowych w pewnej grupie zawodowej:

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}
  lat&inwestorów \\ \hline
  15\div25&20 \\
  25\div35&30 \\
  35\div45&60 \\
  45\div55&50 \\
  55\div\!+\!\infty&10
  \end{tabular}}\)

Przyjmując poziom \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) zweryfikuj hipotezę, że wiek ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\) .

Zupełnie nie wiem jak mam podejść do przedziału \(\displaystyle{ 55}\) i więcej. Nie ma on określonej granicy. Jakiś pomysł?

[szw1710]

Mamy dwie możliwości.

1. Domknij go umowną granicą \(\displaystyle{ 65}\). Zauważ, że piszesz o inwestorach giełdowych w grupie zawodowej więc o ludności zawodowo czynnej. Na emeryturę przechodzimy ok. \(\displaystyle{ 65}\) roku życia.

2. Prawdopodobieństwa teoretyczne w teście chi-kwadrat obliczamy w oparciu o rozkład normalny i jego dystrybuantę, a zresztą prawdopodobieństwo dla ostatniej klasy liczymy tak, aby wszystkie prawdopodobieństwa teoretyczne sumowały się do jedynki. Dlatego nie ma większego znaczenia czy ostatni przedział jest zamknięty czy nie.

[janusz47]

Z treści zadania wynika, że nie są sprecyzowane parametry rozkładu hipotetycznego (tj. rozkładu normalnego).

Jak wiadomo są to:

\(\displaystyle{ m}\)- wartość oczekiwana,

\(\displaystyle{ S(x)}\) - odchylenie standardowe.

Należy więc te parametry oszacować na podstawie próby.

Estymatorami tych parametrów są

\(\displaystyle{ \overline{x}}\) -średnia arytmetyczna z próby oraz odchylenie standardowe z próby

\(\displaystyle{ s(x).}\)

Kolejne etapy obliczeń są następujące:

1. Wprowadzamy zmienną losową standaryzowaną \(\displaystyle{ Z \sim N(0,1)}\) i obliczamy jej wartości (realizacje), korzystając ze wzoru:

\(\displaystyle{ z_{i} = \frac{x_{Gi} -\overline{x}}{s(x)}, \ \ i = 1,2,3,4,5.}\)

gdzie: \(\displaystyle{ x_{Gi}}\) - górna granica i -tego przedziału klasowego.

Ostatnim przedziałem klasowym jest przedział \(\displaystyle{ 55 - 65}\) lat o liczności \(\displaystyle{ 10}\) inwestorów.

2. Odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego (lub programu komputerowego np. R) \(\displaystyle{ F(z_{i}).}\)

3. Obliczamy wartości prawdopodobieństw:

\(\displaystyle{ p_{i}= F(z_{i}) - F(z_{i-1}), \ \ i =1,2,3,4 .}\)

Dla przedziału ostatniego \(\displaystyle{ p_{5}= 1 - F(z_{4}).}\)

4. Obliczamy liczebności teoretyczne:

\(\displaystyle{ \hat{n_{i}} = N\cdot p_{i}, \ \ i=1,2,3,4,5, N = 170}\) inwestorów.

5. Stawiamy hippotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: F = F_{0}}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: F \neq F_{0}.}\)

5. Obliczamy wartość statystyki Pearsona \(\displaystyle{ \chi^2 = \sum_{n =1}^{5}\frac{(n_{i}- \hat{n_{i}})^2}{\hat{n_{i}}}.}\)

Statystyka ta przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma asymptotyczny rozkład \(\displaystyle{ \chi^2.}\)

6. Wartość tej statystyki porównujemy z wartością krytyczną \(\displaystyle{ \chi^2_{\alpha}}\) odczytaną z tablic rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (programu np. R) dla założonego poziomu istotności \(\displaystyle{ \alpha =0,05}\) i \(\displaystyle{ 5 - 2-1 = 2}\) stopni swobody, tak by spełniona była nierówność:

\(\displaystyle{ P( \chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}) = \alpha.}\)

Mamy więc do czynienia z prawostronnym obszarem krytycznym testu.

Stąd też, jeśli \(\displaystyle{ \chi^2 > \chi^2_{\alpha}}\) hipotezę zerową należy odrzucić.

Oznacza to, że badany rozkład empiryczny nie jest rozkładem normalnym.