Statystyka dostateczna

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
royal111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 3 sty 2018, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Statystyka dostateczna

Post autor: royal111 »

\(\displaystyle{ Niech $X=(X_1, ..., X_n)$ będzie próba rozkładu wykładniczego ujemnego o parametrach $\mu \in \mathbb{R}$ i $\sigma > 0$ o gęstości: $f(x)=\frac{1}{\sigma}exp(-\frac{x-\mu}{\sigma})1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x)$ \quad \quad $x \in \mathbb{R}$. Pokazać, że statystyka $T(X)=min(X_1, \ldots, X_m)$ jest statystyką dostateczną dla parametru $\mu$ przy ustalonej wartości parametru $\sigma >0$. \\

Wiem, że należy tutaj użyć kryterium faktoryzacji, tylko mam problem z wyznaczaniem

$g_\mu (T) $

Powinno być \\
$g_\mu (T)=\frac{1}{\sigma ^n}e^{\frac{n \mu}{\sigma}}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x)$?}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Statystyka dostateczna

Post autor: Premislav »

Oj, coś mi się tu trochę nie podoba. Gęstość łączna próby (rozumiem, że jest to próba prosta) wynosi
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma}e^{-\frac{x_i- \mu}{\sigma}}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x_i)=\frac{1}{\sigma^n}e^{- \frac{1}{\sigma}\left( -n\mu+ \sum_{i=1}^{n}x_i \right) } \prod_{i=1}^{n}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x_i)}\)
i teraz ponieważ
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x)= \begin{cases} 0 \text{ dla }x\le \mu \\ 1 \text{ dla }x>\mu\end{cases}}\), więc łatwo widać, że
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x_i)=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}\left( \min(x_1, \ldots x_n\right)}\).
Możemy przeto zapisać
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma}e^{-\frac{x_i- \mu}{\sigma}}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x_i)=\frac{1}{\sigma^n}e^{-\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{n} x_i} \cdot e^{ \frac{n\mu}{\sigma} }1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}\left( \min(x_1, \ldots x_n)\right)}\),
co na mocy kryterium faktoryzacji kończy rozwiązanie zadania.
ODPOWIEDZ