metoda największej wiarygodności, rozkład weibulla

[jan1221]

Gęstość rozkładu Weibulla wynosi:

\(\displaystyle{ f(t) \begin{cases} 0,&t<0 \\ \frac{a}{b^a}t^{a-1}\cdot e^{-(\frac{t}{b})^a},&t \ge 0 \end{cases}}\)

Niech \(\displaystyle{ \Theta =(a,b)}\) .

Funkcja wiarygodności wynosi:

\(\displaystyle{ L(\Theta)=(\frac{a}{b^a})^n \cdot \prod_{i=1}^{n} x_i^{a-1}\cdot e^{- \sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{b})^a }}\)

\(\displaystyle{ \ln L (\Theta)=n\ln \frac{a}{b^a} +(a-1)\ln (x_1 \cdot ... \cdot x_n)-\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{b})^a}\)

Wyliczając pochodne cząstkowe:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial a}=\frac{n}{a}-n \ln b +\ln (x_1 \cdot ... \cdot x_n)-\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i}{b})^a \cdot \ln \frac{x_i}{b}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial b}=\frac{-na}{b}+ \sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{a-1}}\)

Przyrównując do zera z drugiego równania wyliczając "b" otrzymuje się:

\(\displaystyle{ b^a=\frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i}{na}}\)

Podstawiając do pierwszego dochodzi się do postaci:

\(\displaystyle{ \ln \frac{\overline{x^a}}{a} (\frac{a-1}{a})+\frac{1}{a}+\overline{\ln x}-a\cdot \frac{\overline{x^a \ln x}}{\overline{x^a}}=0}\)

Z tym,że znalazłem w internecie takie rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b^a=(\overline{x^a})^{-1} \\ \frac{1}{a}+\overline{\ln x}-\frac{\overline{x^a \ln x}}{\overline{x^a}}=0 \end{cases}}\)

Nie wiem jednak jaką postać miała w tym znalezionym rozwiązaniu gęstość rozkładu, szukając po internecie znalazłem kilka wersji.

Czy zna ktoś poprawny układ równań, do jakiego powinno się dojść?

[leg14]

\(\displaystyle{ b^a=\frac{ \sum_{i=1}^{n}x_i}{na}}\)

Tutaj masz błąd na pewno. Jeśli pochodną po \(\displaystyle{ b}\) przyrównasz do zera i pomnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ b}\), to otrzymasz równanie \(\displaystyle{ b^{a} = \frac{na}{ \sum_{}^{} x_{i}^{a}}}\) .
Gdyby \(\displaystyle{ a}\) zniknęło z licznika, otrzymałbyś układ równań, który podałeś.

-- 4 sty 2018, o 16:32 --

Edit: Źle policzyłeś pochodną po \(\displaystyle{ b}\) . Jeśli dobrze policzysz, to \(\displaystyle{ a}\) zniknie z licznika.

[jan1221]

Dzięki wielkie, zgadza się, \(\displaystyle{ a}\) znika z równania jednak nie mogę dojść do Twojej postaci:
\(\displaystyle{ b^{a} = \frac{na}{ \sum_{}^{} x_{i}^{a}}}\)

Może gdzieś mylę się w znakach ale dalej wychodzi:
\(\displaystyle{ b^a=\frac{ \sum_{}^{} x_i^a}{n}}\)

i dla takiej wartości otrzymałem drugie równanie równe:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\overline{\ln x}-\frac{\overline{x^a \ln x}}{\overline{x^a}}=0}\) ,

które zgadza się z tym znalezionym w internecie.

Byłbym wdzięczny gdybyś wskazał mi błąd w pochodnej po \(\displaystyle{ b}\) .

[leg14]

(robię dla wersji z \(\displaystyle{ a}\) w liczniku)
\(\displaystyle{ 0=\frac{-na}{b}+ \sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{a-1}}\)

Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ 0=\frac{-na}{1}+ \sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{na}{1} = \sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{a}}\)
Wyciągasz \(\displaystyle{ b^{a}}\) przed sume
\(\displaystyle{ \frac{na}{1} = b^{a}\cdot n \cdot \overline{x^a}}\)

Błąd w pochodnej masz w pochodnej \(\displaystyle{ \left(\frac{x_i}{b}\right)^a}\) .

[jan1221]

Teraz zauważyłem, że źle przepisałem z kartki i brakuje minusa w potędze i to co już wcześniej pisałeś zapomniałem o \(\displaystyle{ a}\) . w pierwszym poście jest:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial b}=\frac{-na}{b}+ \sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{a-1}}\)

a powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{ \partial b}=\frac{-na}{b}+ a\sum_{i=1}^{n}x_i^a \cdot b^{-a-1}}\)

i wychodzi tak jak wcześniej pisałem \(\displaystyle{ b^a=\frac{ \sum_{}^{} x_i^a}{n}}\)


Więc wydaje mi się,że teraz jest ok i rozwiązanie znalezione w internecie jest po części błędne.

[leg14]

Racja, tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Weibull_distribution

masz pewnie poprawny wynik