Statystyka dostateczna rozkład wykładniczy

[royal111]

Witam, mam problem z zadaniem.

\(\displaystyle{ Niech $X=(X_1, ..., X_n)$ będzie próba rozkładu wykładniczego ujemnego o parametrach $\mu \in \mathbb{R}$ i $\sigma > 0$ o gęstości:

$f(x)=\frac{1}{\sigma}exp(-\frac{x-\mu}{\sigma})1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(\mu, \infty)}(x)$ \quad \quad $x \in \mathbb{R}$.

Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru $\sigma > 0$ przyjmując wartość parametru $\mu$ za znaną.}\)

Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc!

[leg14]

Znane Ci jest kryterium faktoryzacji"?

[royal111]

Tak, tylko nie do końca wiem, jak to połączyć z założeniem że parametr \(\displaystyle{ $\mu$}\) jest znany.

[leg14]

To oznacza, że możesz go traktować jak liczbę i się nim nie przejmować.
Kryterium faktoryzacji się zazwyczaj formułuje tak, że:
\(\displaystyle{ f_{\theta}(x) = g_{\theta}(T(x))h(x)}\) , gdzie f to gęstość, \(\displaystyle{ \theta}\) parametry, a T to poszukiwana statystyka dostateczna. To, że parametr \(\displaystyle{ \mu}\) jest znany oznacza, iż \(\displaystyle{ \theta = \sigma}\) i każda z funkcji \(\displaystyle{ T,g,h}\) może zależeć od \(\displaystyle{ \mu}\)

[royal111]

To oznacza, że możesz go traktować jak liczbę i się nim nie przejmować.
Kryterium faktoryzacji się zazwyczaj formułuje tak, że:
\(\displaystyle{ f_{\theta}(x) = g_{\theta}(T(x))h(x)}\) , gdzie f to gęstość, \(\displaystyle{ \theta}\) parametry, a T to poszukiwana statystyka dostateczna. To, że parametr \(\displaystyle{ \mu}\) jest znany oznacza, iż \(\displaystyle{ \theta = \sigma}\) i każda z funkcji \(\displaystyle{ T,g,h}\) może zależeć od \(\displaystyle{ \mu}\)

A mógłbyś mi podać, jaka to będzie statystyka? Bo nie potrafię do tego sama dojść.

[leg14]

Spróbuj - to łatwe. Może zacznij od napisania jak wygląda łączna gęstość całej próby