Regresja liniowa

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
annapaulina123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 gru 2017, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Regresja liniowa

Post autor: annapaulina123 »

Dlaczego prosta regresji liniowej przebiega przez punkt wyznaczony przez średnie arytmetyczne X i Y? Niestety, wszędzie gdzie szukam spotykam się ze stwierdzeniem, że tak jest, a nie nie ma wytłumaczenia dlaczego. Czy ktoś umiałby mi to prosto wyjaśnić?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Regresja liniowa

Post autor: leg14 »

Rozważmy model liniowy ze stałą (koniecznie!).
\(\displaystyle{ e = Y - Y'}\) (przez Y' oznaczam wartości dopasowane).
Przemnóżmy obie strony przez \(\displaystyle{ X^{T}}\) . Z założenia pierwsza kolumna macierzy \(\displaystyle{ X^{T}}\) składa się z samych jedynek, więc pierwsza współrzędna wektora \(\displaystyle{ X^{T}e}\) będzie równa \(\displaystyle{ n \cdot \overline{e}}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) , to wymiar \(\displaystyle{ e}\) . Z układu równań normalnych łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ X^{T}(Y -Y') = 0}\) . Zatem \(\displaystyle{ \overline{e} =0 \Rightarrow \overline{Y} = \overline{Y'}}\) . Załóżmy, że jesteśmy w sytuacji jednowymiarowej, czyli nasza hipoteza ma postać \(\displaystyle{ y = a_0 +a_1x}\) . Wówczas \(\displaystyle{ \overline{Y'} = \frac{a_0 + a_1 x_1 + a_0 +a_1 x_2 +...+ a_0 +a_1 x_ n}{n} = a_0 + a_1( \overline{x} )= \overline{Y}}\)
ODPOWIEDZ