Centralne tw graniczne i Berry-Essen

[cichy767]

Rzucamy uczciwą monetą \(\displaystyle{ 40000}\) razy. Użyj Centralnego Twierdzenia Granicznego i twierdzenia Berry–Essena, aby podać nietrywialne górne oszacowanie prawdopodobieństwa, że moneta wypadnie co najmniej \(\displaystyle{ 20000}\) razy. Dla dystrybuanty \(\displaystyle{ \Phi(z)}\) standardowego (unormowanego) rozkładu normalnego (o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 0}\) i wariancji \(\displaystyle{ 1}\) ) użyj nierówności:

\(\displaystyle{ 1- \Phi(z) < \frac{1}{z- \sqrt{2 \pi} } e ^ {-\frac{z^2}{2}}}\)

Podpowiedź:
Najpierw użyj CTG do uzyskania przybliżonego oszacowania, a potem użyj tw. Berry−Essena do
uzyskania poprawy do przybliżonego oszacowania otrzymanego przy pomocy CTG.

Szczerze mówiąc nie wiem jak się za to zabrać, pierwszy raz widzę takie zadanie, a muszę się tego nauczyć :/
Wszelka pomoc mile widziana.

[janusz47]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X \sim B \left(40000, \frac{1}{2}\right)}\)

Z CTG obliczamy dystrybuantę

\(\displaystyle{ Pr( X \geq 20000) = 1 - Pr \left ( Z < \frac{20000 - 40000\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{40000\cdot \frac{1}{2}(1 -\frac{1}{2})}} \right) = 1 - \phi(0)}\)

\(\displaystyle{ \phi(0) = 0,5}\)

Korzystamy z twierdzenia Berry-Essen:

\(\displaystyle{ \left|Pr\left [ \frac{1}{1\cdot \sqrt{40000}}( X_{1}+X_{2}+...+X_{40000}) - 0,5 \right] \right| \leq C\frac{\rho}{\sigma^3\cdot \sqrt{n}}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \rho = 3\sigma ^3}\) – trzeci moment centralny rozkładu normalnego,

\(\displaystyle{ C = 0,5894}\) – niezależna od rozkładu stała (I. S. Tyurin 2009).

Proszę podstawić dane do prawej strony nierówności, w celu oszacowania dokładności wartości funkcji rozkładu. dla \(\displaystyle{ 40000}\) – krotnego rzutu monetą.

[pesel]

Rzucamy uczciwą monetą 40000 razy. Użyj Centralnego Twierdzenia Granicznego twierdzenia Berry−Essena aby podać nietrywialne górne oszacowanie prawdopodobieństwa że moneta wypadnie co najmniej 20000 razy.

O co tu chodzi? Jak ją rzucimy to na pewno wypadnie.

[janusz47]

Wykonujemy rzut monetą \(\displaystyle{ 40000}\) razy. Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia losowego na przykład "orzeł wypadnie co najmniej \(\displaystyle{ 20000}\) razy" (autor postu pomylił się i napisał, zamiast orzeł czy reszka wypadnie co najmniej \(\displaystyle{ 20000}\) razy - "moneta" wypadnie co najmniej \(\displaystyle{ 20000}\) razy)

Ponieważ trudno byłoby obliczyć to prawdopodobieństwo bezpośrednio z rozkładu Bernoulliego:

\(\displaystyle{ Pr( X \geq 20000) = \sum_{n=20000}^{40000}{ 40000\choose n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left( 1- \frac{1}{2}\right)^{40000-n}}\)

więc korzystamy z jego przybliżenia – Centralnego Twierdzenia Granicznego (CTG), a dokładniej mówiąc z jednej z wersji tego twierdzenia – Integralnego Twierdzenie Granicznego de Moivre'a-Laplace'a – przybliżając dystrybuantą standaryzowanego rozkładu normalnego.
Stosując twierdzenie Berry-Essena, szacujemy z góry dokładność obliczenia tej dystrybuanty.

[a4karo]

Policzenie tego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=20000}^{40000}{ 40000\choose n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left( 1- \frac{1}{2}\right)^{40000-n}}\)

jest akurat trywialne.

[Premislav]

No ja nie wiem, wyjątkowo muszę się zgodzić z nielubianym przeze mnie userem janusz47, że niełatwo to bezpośrednio policzyć. Oczywiście wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}=2^{n}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\) dla \(\displaystyle{ 0\le k< n, \ k,n \in \NN}\), więc
\(\displaystyle{ 2^{40 000}= \sum_{k=0}^{19999} {40 000 \choose k}+ \sum_{k=20 000}^{40 000}{40 000\choose k}\\ 2^{40000}+{40 000\choose 20 000}=\sum_{k=0}^{20 000} {40 000 \choose k}+ \sum_{k=20 000}^{40 000}{40 000\choose k}=2\sum_{k=20 000}^{40 000}{40 000\choose k}\\\frac 1 2+\left( \frac 1 2\right)^{40 001}{40 000 \choose 20 000}=\sum_{k=20 000}^{40 000}{40 000\choose k}\left( \frac 1 2\right)^{40 000} \\\frac 1 2+\left( \frac 1 2\right)^{40 001}{40 000 \choose 20 000}= \sum_{k=20000}^{40 000}{40 000 \choose k}\left( \frac 1 2\right)^{k}\left( \frac 1 2\right)^{40 000-k}}\)
i ja tam nie sądzę, żeby postać:
\(\displaystyle{ \frac 1 2+\left( \frac 1 2\right)^{40 001}{40 000 \choose 20 000}}\) nam wiele mówiła, mnie mówi tylko tyle, że to jest trochę więcej niż \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) (o ile więcej, to można też zobaczyć z grubsza ze wzoru Stirlinga).

Policzenie tego (w dokładnym sensie) byłoby trywialne (i przebiegałoby jak powyżej, choć można to zwięźlej zapisać), gdybyśmy mieli tu np. sumę typu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^{2n+1}{2n+1 \choose k}\left( \frac 1 2\right)^{2n+1}}\)
(wtedy by nie zostawał ten składnik z \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) jak tutaj i to by była po prostu \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) ).

[a4karo]

Oczywiście ten rachunek jest niepotrzebny, jeżeli się zauważy, że wyraz odpowiadający \(\displaystyle{ 20000}\) orłom jest jedynym, który nie ma swojego symetrycznego odpowiednika \(\displaystyle{ (n,40000-n)\to (40000-n,n)}\)

Znane natomiast są fajne oszacowania typu: \(\displaystyle{ \binom{2n}{n}\approx\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}}\) ,
czy: \(\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{9}\leq c_n\leq \frac{1}{8}}\) .

-- 28 gru 2017, o 13:27 --

I pozwoli uniknąć takich nieprawdziwych formuł jak:

\(\displaystyle{ Pr( X \geq 20000) = 1 - Pr \left ( Z < \frac{20000 - 40000\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{40000\cdot \frac{1}{2}(1 -\frac{1}{2})}} \right) = 1 - \phi(0)=1/2}\)

[Premislav]

I owszem, pierwsze z tych oszacowań nawet kojarzę.
Mimo to upieram się, że „oszacowanie jest trywialne" to nie to samo, co „policzenie jest trywialne". Ale pewnie wyjdzie, że czepiam się słówek - gdy ktoś inny zwraca uwagę na szczegóły, to jest to dbałość o precyzję, zaś gdy ja zwracam uwagę na szczegóły, to jest to wstrętne czepialstwo i zadzieranie nosa.

[a4karo]

JA pozwolę sobie tylko na coś takiego:
\(\displaystyle{ 1=\Pr(X<20000)+\Pr(X=20000)+\Pr(X>20000)=\Pr(X=20000)+2\Pr(X>20000)}\)
więc
\(\displaystyle{ 1+\Pr(X=20000)=2\Pr(X\geq 20000)}\)
i to, wraz z oczywistym wyliczeniem lewej strony kończy problemy z policzeniem.

Szacowanie o którym pisałem daje \(\displaystyle{ \Pr(X\geq 20000)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{20000\pi}}\right)}\)
Ciekaw jestem ile wyjdzie z oszacowań CTG.

[janusz47]

Panie a4karo Integralne twierdzenia de Moivre'a - Laplace'a istniało za nim Pan rozpoczynał swoją przygodę z matematyką i będzie istniało nadal, czy Pan uważa je za prawdziwą czy nieprawdziwą formułę.

Pańskie oszacowanie jest kiepskie.

Znacznie dokładniejsze uzyskujemy z twierdzenia Berry-Essena.

[a4karo]

Panie a4karo Integralne twierdzenia de Moivre'a - Laplace'a istniało za nim Pan rozpoczynał swoją przygodę z matematyką i będzie istniało nadal, czy Pan uważa je za prawdziwą czy nieprawdziwą formułę.

Pańskie oszacowanie jest kiepskie.

Znacznie dokładniejsze uzyskujemy z twierdzenia Berry-Essena.

Bla bla bla... Policz i pokaż.

I zadbaj o język i ortografię, bo fstyt

Do twierdzenia nic nie mam, natomiast to, co napisałeś jest po prostu nieprawdą.

[janusz47]

Wstyd!
Nie potrafi Pan obliczyć odwrotności pierwiastka kwadratowego z \(\displaystyle{ 20000\pi}\)
I podstawić do nierówności B-E danych?

[a4karo]

Umiem, ale nie chcę. Nie będę się mieszał doTwojego toku rozumowania.
Wskazuję tylko, że piszesz nieprawdziwe wzory i potem z nich wyciągasz wnioski.

Deprawujesz tym młodych adeptów matematyki.

[janusz47]

Trzeba najpierw wzory znać, żeby mówić czy są prawdziwe czy nieprawdziwe.
Chyba, że są wyczarowane z kapelusza.

[a4karo]

Trzeba najpierw wzory znać, żeby mówić czy są prawdziwe czy nieprawdziwe.
Chyba, że są wyczarowane z kapelusza.

No i wystarczy. Argumenty ad personam zamiast rzeczowej argumentacji. Jestem pełen podziwu...