Wyznaczanie stawki aby gra była sprawiedliwa

[lenox1231]

Z talii \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy ze zwracaniem \(\displaystyle{ 3}\) karty. W przypadku wylosowania pika za każdego otrzymujemy zwrot stawki plus \(\displaystyle{ 10\text{ zł}}\) . Ile powinna wynosić stawka, aby gra była sprawiedliwa. Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) – wygrana w tej grze. Ile wynoszą wariancja oraz klasyczny współczynnik zmienności?

Natrafiłem wcześniej na właściwie identyczne zadanie z losowaniem bez zwracania, które rozumiem. Co jednak jeśli losujemy zwracając za każdym razem kartę? Czy rozkład przyjmuje wtedy postać rozkładu dwumianowego, gdzie \(\displaystyle{ Y}\) – liczba wylosowanych pików w \(\displaystyle{ 3}\) rzutach o parametrach:

\(\displaystyle{ p=1/13 \\
q=12/13 \\
n=3 \\
k=0;1;2;3}\)

I dla tak wyliczonych prawdopodobieństw tworzymy wtedy rozkład \(\displaystyle{ X}\) ?

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(0)= {3 \choose 0} \left( \frac{3}{4} \right) ^3\\
P(1)= {3 \choose 1} \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3}{4} \right) ^2\\
P(2)= {3 \choose 2} \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{3}{4} \right) \\
P(3)= {3 \choose 3} \left( \frac{1}{4} \right)^3\\

(-s) \cdot P(0)+(s+10)\cdot P(1)+(s+10)^2\cdot P(2)+(s+10)^3\cdot P(3)=0\\
s=?}\)

[lenox1231]

No tak... Przecież losujemy z całej talii, a nie z samych pików. Nie wiem co mnie podkusiło z tym \(\displaystyle{ 1/13}\) i \(\displaystyle{ 12/13}\) . A tak swoją drogą, czy wartość oczekiwana nie jest po prostu sumą iloczynów prawdopodobieństw i wartości zmiennej? Czy te potęgi są konieczne?

[kerajs]

Ech, spieszyłem się i popłynąłem. Powinno być:

\(\displaystyle{ (-s) \cdot P(0)+(s+10)\cdot P(1)+2(s+10)\cdot P(2)+3(s+10)\cdot P(3)=0}\)

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) to kwota wygrywana przy określonej ilości pików:

\(\displaystyle{ 0}\) pików to strata stawki \(\displaystyle{ s}\) ,
\(\displaystyle{ 1}\) pik to wygrana \(\displaystyle{ s+10}\) ,
\(\displaystyle{ 2}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ 2(s+10)}\) ,
\(\displaystyle{ 3}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ 3(s+10)}\) .

Tak wynika z fragmentu W przypadku wylosowania pika za każdego otrzymujemy zwrot stawki plus \(\displaystyle{ 10\text{ zł}}\) .

Zastanawiam się czy tam nie powinno być: W przypadku wylosowania pika otrzymujemy zwrot stawki plus za każdego pika po \(\displaystyle{ 10\text{ zł}}\) .
Wtedy masz:

\(\displaystyle{ 0}\) pików to strata stawki \(\displaystyle{ s}\) ,
\(\displaystyle{ 1}\) pik to wygrana \(\displaystyle{ s+10}\) ,
\(\displaystyle{ 2}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ s+20}\) ,
\(\displaystyle{ 3}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ s+30}\) .

i równanie:

\(\displaystyle{ (-s) \cdot P(0)+(s+10)\cdot P(1)+(s+20)\cdot P(2)+(s+30)\cdot P(3)=0}\)

Edit:

Twój post wykazał mi, że zupełnie pominąłem wpłacaną stawkę. Dlatego wartości wgranej należy obniżyć o sumę wpłacaną na starcie gry.

Stąd:

Wersja 1)
\(\displaystyle{ 0}\) pików to strata stawki \(\displaystyle{ s}\) ,
\(\displaystyle{ 1}\) pik to wygrana \(\displaystyle{ -s+s+10}\) ,
\(\displaystyle{ 2}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ -s+2(s+10)}\) ,
\(\displaystyle{ 3}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ -s+3(s+10)}\) .

\(\displaystyle{ (-s) \cdot P(0)+(10)\cdot P(1)+(s+20)\cdot P(2)+(2s+30)\cdot P(3)=0}\)

Wersja 2)
\(\displaystyle{ 0}\) pików to strata stawki \(\displaystyle{ s}\) ,
\(\displaystyle{ 1}\) pik to wygrana \(\displaystyle{ -s+s+10}\) ,
\(\displaystyle{ 2}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ -s+s+20}\) ,
\(\displaystyle{ 3}\) piki to wygrana \(\displaystyle{ -s+s+30}\) .

\(\displaystyle{ (-s) \cdot P(0)+(10)\cdot P(1)+(20)\cdot P(2)+(30)\cdot P(3)=0}\)

Diagnoza: Przy tak wysokiej przedświątecznej gorączce nie powinienem zaglądać na forum.
Sorki.

[lenox1231]

Hmmm, z tak sformułowanej treści zadania jak napisałem w pierwszym poście najbardziej jestem przekonany do wersji:

\(\displaystyle{ X}\) – zmienna losowa oznaczająca wygraną w grze.
Dla \(\displaystyle{ 0}\) pików = przegrywamy stawkę czyli \(\displaystyle{ -s}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 1}\) pika = zwrot stawki \(\displaystyle{ +10\text{ zł}}\) , czyli \(\displaystyle{ (s+10)}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 2}\) pików = zwrot stawki \(\displaystyle{ +20\text{ zł}}\) , czyli \(\displaystyle{ (s+20)}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 3}\) pików = zwrot stawki \(\displaystyle{ +30\text{ zł}}\) , czyli \(\displaystyle{ (s+30)}\) .

Tak jak mówię, czytając treść zadania zrozumiałem ją tak, że stawka jest jedna za udział w całej grze, a gra oznacza \(\displaystyle{ 3}\)-krotne losowanie karty. Generalnie jest to zgodne z drugą wersją, którą opisałeś.
Samo zadanie wydaje się już dla mnie zrozumiałe, myślę, że główny problem tkwi w definicji wyrażenia "wygrana w grze". Rozkład przedstawiony powyżej przedstawia rozumienie wygranej jako wypłaty z gry za określoną ilość wylosowanych pików. Spotkałem się również z opinią, że wygraną rozumiemy jako zysk z gry, czyli wtedy rozkład prezentowałby się następująco:

\(\displaystyle{ X}\) – zmienna losowa oznaczająca wygraną w grze,
Dla \(\displaystyle{ 0}\) pików inwestujemy stawkę, z samej gry wygrywamy \(\displaystyle{ 0\text{ zł}}\) , więc mamy zysk(stratę) \(\displaystyle{ -s= -s}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 1}\) pika inwestujemy stawkę, z samej gry wygrywamy stawkę \(\displaystyle{ +10}\) , czyli czystego zysku mamy po prostu \(\displaystyle{ 10\text{ zł}}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 2}\) pików analogicznie , czyli zysk to \(\displaystyle{ 20\text{ zł}}\) ,
Dla \(\displaystyle{ 3}\) pików analogicznie , czyli zysk to \(\displaystyle{ 30\text{ zł}}\) .

Wtedy szukając stawkę sprawiedliwą mamy: \(\displaystyle{ P(0)*(-s)+P(1)*10+P(2)*20+P(3)*30=0}\)
Także według mnie tzw. "wygrana w grze" powinna być lepiej zdefiniowana w treści zadania.
Tak czy siak, dziękuję za pomoc i poświęcony czas,