Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ (n,p)}\). Chcemy estymować: \(\displaystyle{ f(p)= p^{2}}\).
a) Sprawdź zgodność i asymptotyczną zgodność estymatora \(\displaystyle{ g_{1}(X)= \frac{ X^{2} }{ n^{2} }}\)
b) Znajdź nieobciążony estymator \(\displaystyle{ g_{2}(X)}\)
Co do podpunktu a, to próbowałem sprawdzić, czy granica \(\displaystyle{ \text{E}\big( g_{1}(X)\big)}\) jest równa \(\displaystyle{ p^{2}}\) i tak rzeczywiście jest. Trzeba jeszcze sprawdzić \(\displaystyle{ \text{Var}\frac{ X^{2} }{ n^{2} }}\), ale do tego trzeba policzenia czwartego momentu dla rozkładu Bernoulliego, co mnie przerosło.
Może można to zrobić jakimś trickiem z MPWL?
Rozkład bernoulliego
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Rozkład bernoulliego
Czwarty moment rozkładu Bernoulliego, powiadasz. Nie przychodzi mi na myśl trick z MPWL,ale przecież po coś mamy funkcje tworzące momenty. Funkcja tworząca momenty rozkładu Bernoulliego: niech \(\displaystyle{ X\sim b(n,p)}\), wówczas
\(\displaystyle{ M_X(t)=\mathbf{E}\left[ e^{tX}\right] = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}e^{kt}p^k q^{n-k}=\\= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left(pe^{t}\right)^k q^{n-k}=(pe^{t}+q)^n=\\=(pe^{t}+1-p)^n}\)
Skorzystałem po prostu ze wzorku na wartość oczekiwaną dla rozkładu dyskretnego i ze wzoru dwumianowego Newtona.
Teraz przyda się oczywiście fakt, że \(\displaystyle{ M_X^{(n)}(0)=\mathbf{E}\left[X^n\right], \ n \in \NN^+}\), o ile w ogóle na pewnym otoczeniu zera dana funkcja ma funkcję tworzącą momenty (kwestia zbieżności odpowiedniego szeregu funkcyjnego czy całki z parametrem w pewnym obszarze). Liczysz czwartą pochodną, wstawiasz \(\displaystyle{ t=0}\) itd.
\(\displaystyle{ M_X(t)=\mathbf{E}\left[ e^{tX}\right] = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}e^{kt}p^k q^{n-k}=\\= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left(pe^{t}\right)^k q^{n-k}=(pe^{t}+q)^n=\\=(pe^{t}+1-p)^n}\)
Skorzystałem po prostu ze wzorku na wartość oczekiwaną dla rozkładu dyskretnego i ze wzoru dwumianowego Newtona.
Teraz przyda się oczywiście fakt, że \(\displaystyle{ M_X^{(n)}(0)=\mathbf{E}\left[X^n\right], \ n \in \NN^+}\), o ile w ogóle na pewnym otoczeniu zera dana funkcja ma funkcję tworzącą momenty (kwestia zbieżności odpowiedniego szeregu funkcyjnego czy całki z parametrem w pewnym obszarze). Liczysz czwartą pochodną, wstawiasz \(\displaystyle{ t=0}\) itd.