Niech \(\displaystyle{ X_{1},..., X_{n}}\) zmienne niezależne o tym samym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ a}\). Policz obciążenie estymatora \(\displaystyle{ b= e^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }}\) parametru \(\displaystyle{ c(a)= e^{-a}}\).
\(\displaystyle{ Eb=Ee^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }=nE e^{- \frac{ X_{1} }{n} }=n \sum_{k=0}^{ \infty } e^{- \frac{k}{n} } \frac{ a^{k} e^{-a} }{k!}}\)
Można potem z tej sumy zrobić exp i ostatecznie wyjdzie: \(\displaystyle{ Eb=n e^{-a} e^{a e^{- \frac{1}{n} } }}\)
Ostateczne obciążenie to \(\displaystyle{ Eb-e^{-a}}\)
Czy jest to dobre rozumowanie?
Obciążenie rozkład Poissona
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Obciążenie rozkład Poissona
Nie wiem, co się tutaj stało, ale wygląda to tak, jakbyś wartość oczekiwaną iloczynu zamienił na sumę wartości oczekiwanych. Dość mało sensowne, nieprawdaż? Może Ci się kompletnie pomieszało z tym, że funkcja tworząca momenty sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji tworzących momenty (o ile takowe istnieją w pewnym otoczeniu zera).\(\displaystyle{ Ee^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }=nE e^{- \frac{ X_{1} }{n} }}\)
Skoro \(\displaystyle{ X_1\ldots X_n}\) są niezależne, to także \(\displaystyle{ \exp\left[-\frac{X_1}{n}\right],\ldots-\exp\left[\frac{X_n}{n}\right]}\) są niezależne, zaś wartość oczekiwana iloczynu (skończenie wielu) niezależnych zmiennych losowych to iloczyn wartości oczekiwanych (o ile poszczególne wartości oczekiwane istnieją, rzecz jasna). Więc raczej powinieneś dostać, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[e^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }\right]= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{E}\exp\left[ -\frac{X_i}{n}\right] =\left( \mathbf{E}\exp\left[-\frac{X_1}{n}\right] \right)^n}\),
gdzie w ostatnim przejściu skorzystałem jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ X_i}\) mają jednakowy rozkład.
Jeszcze taka śmieszna sztuczka, która rzadko ma zastosowanie: jak nie chce Ci się liczyć tej wartości oczekiwanej eksponenty, to znajdź w necie wzór na funkcję tworzącą momenty dla rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ a>0}\) i podstaw \(\displaystyle{ t=-\frac 1 n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 6 kwie 2017, o 08:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Re: Obciążenie rozkład Poissona
Zupełnie pomieszało mi się. Nie wiem czemu to zsumowałem.
Czyli \(\displaystyle{ E exp (- \frac{X_{1}}{n}) =exp (a( e^{- \frac{1}{n}}-1))?}\)
Czyli \(\displaystyle{ E exp (- \frac{X_{1}}{n}) =exp (a( e^{- \frac{1}{n}}-1))?}\)