Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X_{1},..., X_{n}}\) zmienne niezależne o tym samym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ a}\). Policz obciążenie estymatora \(\displaystyle{ b= e^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }}\) parametru \(\displaystyle{ c(a)= e^{-a}}\).

\(\displaystyle{ Eb=Ee^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }=nE e^{- \frac{ X_{1} }{n} }=n \sum_{k=0}^{ \infty } e^{- \frac{k}{n} } \frac{ a^{k} e^{-a} }{k!}}\)

Można potem z tej sumy zrobić exp i ostatecznie wyjdzie: \(\displaystyle{ Eb=n e^{-a} e^{a e^{- \frac{1}{n} } }}\)

Ostateczne obciążenie to \(\displaystyle{ Eb-e^{-a}}\)
Czy jest to dobre rozumowanie?

\(\displaystyle{ Ee^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }=nE e^{- \frac{ X_{1} }{n} }}\)

Nie wiem, co się tutaj stało, ale wygląda to tak, jakbyś wartość oczekiwaną iloczynu zamienił na sumę wartości oczekiwanych. Dość mało sensowne, nieprawdaż? Może Ci się kompletnie pomieszało z tym, że funkcja tworząca momenty sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji tworzących momenty (o ile takowe istnieją w pewnym otoczeniu zera).
Skoro \(\displaystyle{ X_1\ldots X_n}\) są niezależne, to także \(\displaystyle{ \exp\left[-\frac{X_1}{n}\right],\ldots-\exp\left[\frac{X_n}{n}\right]}\) są niezależne, zaś wartość oczekiwana iloczynu (skończenie wielu) niezależnych zmiennych losowych to iloczyn wartości oczekiwanych (o ile poszczególne wartości oczekiwane istnieją, rzecz jasna). Więc raczej powinieneś dostać, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[e^{ -\frac{ X_{1}+...+X_{n} }{n} }\right]= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{E}\exp\left[ -\frac{X_i}{n}\right] =\left( \mathbf{E}\exp\left[-\frac{X_1}{n}\right] \right)^n}\),
gdzie w ostatnim przejściu skorzystałem jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ X_i}\) mają jednakowy rozkład.
Jeszcze taka śmieszna sztuczka, która rzadko ma zastosowanie: jak nie chce Ci się liczyć tej wartości oczekiwanej eksponenty, to znajdź w necie wzór na funkcję tworzącą momenty dla rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ a>0}\) i podstaw \(\displaystyle{ t=-\frac 1 n}\).

Zupełnie pomieszało mi się. Nie wiem czemu to zsumowałem.

Czyli \(\displaystyle{ E exp (- \frac{X_{1}}{n}) =exp (a( e^{- \frac{1}{n}}-1))?}\)

Zgadza się. Dalej pewnie sobie bez problemu poradzisz.