Witam, mam następujące pytanie:
Rozważmy zmienną o rozkładzie dyskretnym. Wówczas dystrybuanta jest funkcją skokową prawostronnie ciągłą. W tym przypadku licząc medianę mam do rozwiązania następujące równanie \(\displaystyle{ F_X(t)=\frac{1}{2}}\). Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją skokową otrzymam cały zbiór rozwiązań. Które \(\displaystyle{ t}\) należy wybrać?
Mediana dla zmiennej o rozkładzie dyskretnym
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Mediana dla zmiennej o rozkładzie dyskretnym
Medianą zmiennej losowej dyskretnej \(\displaystyle{ X}\) jest taka wartość \(\displaystyle{ Me}\), że
\(\displaystyle{ \sum_{k\leq Me}^{\infty} P(\{X =k\})=\sum_{k\leq Me}^{\infty} p_{k} \geq \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k\geq Me}^{\infty} P(\{X =k\}) = \sum_{k\geq Me}^{\infty}p_{k} \geq \frac{1}{2}.}\)
Wystarczy więc rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k =Me}^{\infty} p_{k} = \frac{1}{2}.}\)
Przykład
Zmienna losowa ma rozkład geometryczny:
\(\displaystyle{ P(\{ X =k \}) = p\cdot q^{k-1}, \ \ k =0,1,2..., \ \ 0< p < 1 , \ \ q = 1-p.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k = Me}^{\infty}p\cdot q^{k-1}= \frac{1}{2}.}\)
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{k = Me}^{\infty}p (1 - p)^{k-1} = \frac{p(1-p)^{Me -1}}{1-(1-p)} = (1- p)^{Me-1}= q^{Me -1}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ q^{Me-1} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ Me = \frac{\ln(2)}{-\ln(q)}+1.}\)
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ \frac{\ln(2)}{-\ln(q)}}\) jest liczbą całkowitą , to \(\displaystyle{ Me}\) jest dowolną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{-\ln(2)}{ln(q)},\frac{-\ln(2)}{ln(q)}+1\right).}\)
Jeśli liczba \(\displaystyle{ \frac{ln(2)}{-\ln(q)}}}\) nie jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ Me = \left[ \frac{ln(2)}{-\ln(q)}\right] + 1.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k\leq Me}^{\infty} P(\{X =k\})=\sum_{k\leq Me}^{\infty} p_{k} \geq \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k\geq Me}^{\infty} P(\{X =k\}) = \sum_{k\geq Me}^{\infty}p_{k} \geq \frac{1}{2}.}\)
Wystarczy więc rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k =Me}^{\infty} p_{k} = \frac{1}{2}.}\)
Przykład
Zmienna losowa ma rozkład geometryczny:
\(\displaystyle{ P(\{ X =k \}) = p\cdot q^{k-1}, \ \ k =0,1,2..., \ \ 0< p < 1 , \ \ q = 1-p.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k = Me}^{\infty}p\cdot q^{k-1}= \frac{1}{2}.}\)
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{k = Me}^{\infty}p (1 - p)^{k-1} = \frac{p(1-p)^{Me -1}}{1-(1-p)} = (1- p)^{Me-1}= q^{Me -1}.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ q^{Me-1} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ Me = \frac{\ln(2)}{-\ln(q)}+1.}\)
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ \frac{\ln(2)}{-\ln(q)}}\) jest liczbą całkowitą , to \(\displaystyle{ Me}\) jest dowolną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{-\ln(2)}{ln(q)},\frac{-\ln(2)}{ln(q)}+1\right).}\)
Jeśli liczba \(\displaystyle{ \frac{ln(2)}{-\ln(q)}}}\) nie jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ Me = \left[ \frac{ln(2)}{-\ln(q)}\right] + 1.}\)
-
mwrooo
- Użytkownik
- Posty: 215
- Rejestracja: 18 cze 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kuczbork
- Podziękował: 34 razy
Mediana dla zmiennej o rozkładzie dyskretnym
Bardzo dziękuję za odpowiedź, ale weźmy standardowy przykład:
\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}}\). Ile wynosi mediana?
\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}}\). Ile wynosi mediana?