Na poziomie istotności zweryfikuj hipotezę

[jestemmatematykiem]

W losowy sposób z różnych wagonów węgla dostarczonego do elektrociepłowni pobrano 12 jednakowych jednostek i określono wartość opałową węgla w tych jednostkach, uzyskując wyniki (w \(\displaystyle{ kJ/kg}\)): \(\displaystyle{ 30354, 31338, 30680, 30509, 31443, 31372, 29936, 30769, 30396, 30777, 31045, 30480.}\)

Na podstawie tych wyników wyznaczyć \(\displaystyle{ 95}\)-procentowe przedziały ufności dla:
1a Przeciętnej wartości opałowej dostarczonego węgla;
1b Wariancji wartości opałowej dostarczonego węgla.

Na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) zweryfikować hipotezy:
2c Oczekiwana wartość opałowa węgla wynosi mniej niż \(\displaystyle{ 31000\, [kJ/kg]}\);
2d Wariancja wartości opałowej dostarczonego węgla wynosi ponad \(\displaystyle{ \left( 1000 [kJ/kg]\right) ^2}\).

Proszę o sprawdzenie pierwszych trzech podpunktów oraz rozwiązanie ostatniego (d) z którym nie wiem jak sobie poradzić.

Wszystko wrzucam na dysku ponieważ robione było w Wordzie.
Oto link : [ciach]

Z góry bardzo dziękuję za pomoc

[janusz47]

2d)

Weryfikacja hipotezy o wariancji wartości opalowej dostarczonego węgla.

Dane:

\(\displaystyle{ \alpha = 0,05, \ \}\)

Hipotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: Q^2_{0}= 1000 (\frac{kJ}{kg})^2,}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: Q^2_{0}\neq 1000^2 (\frac{kJ}{kg})^2.}\)

Statystyka testowa:

\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{S}^2}{Q^2_{0}}.}\)

Obliczenie wartości statystyki na podstawie danej próby.

Program R

Kod: Zaznacz cały

> Q<-c(30354,31338, 30680, 30509, 31443, 31372,29936,30769,30396,30777,31045,30480)
 V= var(Q)
> V
[1] 216434.9
> n = 12
> chikwadrat = (n-1)*V/1000^2
> chikwadrat
[1] 2.380784

Określenie zbioru krytycznego z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) lub na przykład programu R

Program R

Kod: Zaznacz cały

 alpha = 0.05
> k = qchisq(0.05/2, 11)
> k
[1] 3.815748

Wartość statystyki \(\displaystyle{ \chi^2= 2,38 \neq (-\infty, -3,83\rangle \cup \langle 3,83, \infty).}\)

Nie ma podstaw do odrzucenie hipotezy zerowej, że wariancja wartości opałowej węgla jest różna od

wartości \(\displaystyle{ 1000^2 [\frac{kJ}{kg}]^2.}\)

Proszę zapisać swoje rozwiązania pozostałych zdań zgodnie z regulaminem Forum, wtedy nie będą one "wyciachowane" przez Pana Jana Kraszewskiego i je sprawdzimy - ewentualnie poprawimy.

[jestemmatematykiem]

Z jakiego serwisu mogę skorzystać aby zgodnie z regulaminem wrzucić link do screenów?

Pozdrawiam-- 20 wrz 2017, o 12:23 --

2d)

Weryfikacja hipotezy o wariancji wartości opalowej dostarczonego węgla.

Dane:

\(\displaystyle{ \alpha = 0,05, \ \}\)

Hipotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: Q^2_{0}= 1000 (\frac{kJ}{kg})^2,}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: Q^2_{0}\neq 1000^2 (\frac{kJ}{kg})^2.}\)

Statystyka testowa:

\(\displaystyle{ \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{S}^2}{Q^2_{0}}.}\)

Obliczenie wartości statystyki na podstawie danej próby.

Program R

Kod: Zaznacz cały

> Q<-c(30354,31338, 30680, 30509, 31443, 31372,29936,30769,30396,30777,31045,30480)
 V= var(Q)
> V
[1] 216434.9
> n = 12
> chikwadrat = (n-1)*V/1000^2
> chikwadrat
[1] 2.380784

Określenie zbioru krytycznego z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) lub na przykład programu R

Program R

Kod: Zaznacz cały

 alpha = 0.05
> k = qchisq(0.05/2, 11)
> k
[1] 3.815748

Wartość statystyki \(\displaystyle{ \chi^2= 2,38 \neq (-\infty, -3,83\rangle \cup \langle 3,83, \infty).}\)

Nie ma podstaw do odrzucenie hipotezy zerowej, że wariancja wartości opałowej węgla jest różna od

wartości \(\displaystyle{ 1000^2 [\frac{kJ}{kg}]^2.}\)

Proszę zapisać swoje rozwiązania pozostałych zdań zgodnie z regulaminem Forum, wtedy nie będą one "wyciachowane" przez Pana Jana Kraszewskiego i je sprawdzimy - ewentualnie poprawimy.

W tym podpunkcie było pytanie o wariancja wartości opałowej dostarczonego węgla wynosi ponad 1000 [kJ/kg] a Pan policzył różna, podmieniłem na
\(\displaystyle{ H_{0}: Q^2_{0} \le 1000 (\frac{kJ}{kg})^2,}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: Q^2_{0}> 1000^2 (\frac{kJ}{kg})^2.}\)

W tej sytuacji zmieniłem odpowiedź na :

Obliczona statystyka nie należy do obszaru krytycznego (α=0,05), dlatego też nie odrzucamy \(\displaystyle{ H_{0}}\), na rzecz \(\displaystyle{ H_{1}}\) i twierdzimy, że oczekiwana wartość opałowa węgla nie jest istotnie większa od 1000 [kJ/kg].

Czy to będzie prawidłowa odpowiedź?

Pozdrawiam.

[janusz47]

Dla hipotez:

\(\displaystyle{ H_{0}: Q^2_{0}= 1000^2 \left(\frac{kJ}{kg}\right)^2,}\)

\(\displaystyle{ H{1}: Q^2_{0}> 1000^2 \left(\frac{kJ}{kg}\right)^2,}\)

Wartość statystyki \(\displaystyle{ \chi^2 =2,38}\) pozostaje ta sama.

Zmienia się zbiór krytyczny dwustronny (obustronny) na zbiór krytyczny prawostronny.

Korzystamy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) dla \(\displaystyle{ \alpha = 0,05}\) nie \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ n-1 = 12-1 = 11}\) stopni swobody, aby odczytać wartość kwantyla \(\displaystyle{ \chi^2(0,05, 11).}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> k = qchisq(0.05,11)
> k
[1] 4.574813

\(\displaystyle{ \set{K} = \langle 4,57, +\infty)}\)

Decyzja

\(\displaystyle{ \chi^2 = 2,38 \notin \set{K} = \langle 4,57, +\infty),}\)

Nie ma podstaw, aby twierdzić, że wariancja wartości opałowej węgla \(\displaystyle{ Q^2_{0}> 1000^2 \left( \frac{kJ}{kg}\right)^2}\) (przyjmujemy hipotezę \(\displaystyle{ H_{0}}\)).

[jestemmatematykiem]

Dla hipotez:

\(\displaystyle{ H_{0}: Q^2_{0}= 1000^2 \left(\frac{kJ}{kg}\right)^2,}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ H_{0}}\) jest \(\displaystyle{ =1000}\) a nie \(\displaystyle{ <=1000}\) ?

[janusz47]

Wynika to z budowy testów parametrycznych dla danego parametru np. średniej, wariancji, odchylenia standardowego.