Dopasuj rozkład (MNW)

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

Witam
Mam do wykonania zadanie:
Tomek rzucił 50 razy kostką oto jego wyniki:
(2,6,2,4,2,2,4,6,6,6,6,2,2,6,2,2,4,2,2,3,2,2,2,2,3,4,6,5,2,6,4,4,5,4,4,6,6,6,6,2,4,5,4,3,3,6,6,1,6,6)
Jaki rozkład jest najbardziej prawdopodobny dla otrzymanych wyników ?
a)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
liczba & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
prawd & 2/36 & 12/36 & 2/36 & 6/36 &2/36 & 12/36 \\ \hline
\end{tabular}}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
liczba & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
prawd & 1/36 & 14/36 & 3/36 & 6/36 & 2/36 & 10/36 \\ \hline
\end{tabular}}\)

c)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
liczba & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
prawd & 2/36 & 13/36 & 1/36 & 6/36 & 3/36 & 11/36 \\ \hline
\end{tabular}}\)


Wiem że trzeba skorzystać z funkcji wiarygodności ale nie wiem jak jej tutaj użyć i jak następnie użyć jej do wybrania jednego z tych rozkładów.
Będe wdzięczny za każdą pomoc
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Na podstawie próby Tomka otrzymujemy rozkład częstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X:}\)

\(\displaystyle{ P(\{X= 1\}) = p_{1} = \frac{1}{50},}\)

\(\displaystyle{ P(\{X= 2\}) = p_{2} = \frac{16}{50},}\)

\(\displaystyle{ P( \{X= 3\}) = p_{3} = \frac{4}{50},}\)

\(\displaystyle{ P(\{X= 4\}) = p_{4} = \frac{10}{50},}\)

\(\displaystyle{ P(\{X= 5\}) = p_{5} = \frac{3}{50},}\)

\(\displaystyle{ P(\{X= 6\}) = p_{6} = \frac{16}{50}.}\)

Nieznany parametr:

\(\displaystyle{ \theta \in \Theta = \left\{ \frac{1}{50}, \frac{16}{50}, \frac{4}{50}, \frac{10}{50}, \frac{3}{50},\frac{16}{50} \right\}}\)

Dla danego \(\displaystyle{ \theta}\) łączna gęstość zmiennych \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., X_{6}}\) ma postać:

\(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2}, ..., x_{6})= \prod_{i=1}^{6}p_{\theta}(x_{i})= \theta^{\sum_{i=1}^{6}x_{i}}(1-\theta)^{6-\sum_{i=1}^{6}x_{i}}, \ \ \sum_{i=1}^{6} x_{i}\in \{1,2,3,4,5,6\}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,6.}\)

Proszę obliczyć wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla danych wartości \(\displaystyle{ \theta_{i}}\) wybrać maksymalną i obliczyć dla niej rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p_{i}\ \ i=1,2,3,4,5,6.}\)
Wybrać jedną z tabel a), b), c).

-- 17 wrz 2017, o 14:28 --

Można też postąpić prościej, rozważając problem estymacji parametru \(\displaystyle{ \theta}\) dla \(\displaystyle{ N=1}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) opisanej rozkładem dwumianowym (Bernoulliego).

\(\displaystyle{ P(Y|\theta) = {m \choose y}\theta ^{y}(1- \theta)^{m-y}.}\)

i dokonując estymacji parametru \(\displaystyle{ \theta}\) dla pojedynczej obserwacji (długości próby \(\displaystyle{ N=1}\)) zmiennej \(\displaystyle{ Y.}\) Wtedy iloraz \(\displaystyle{ \frac{Y}{m}}\) nazywamy częstością. Parametr \(\displaystyle{ m}\) charakteryzuje rozkład zmiennej Bernoulliego \(\displaystyle{ Y}\) i nie ma związku z długością próby \(\displaystyle{ N.}\)

Dla \(\displaystyle{ y \equiv (y_{1}) \ \ P(y|\theta)}\) jest funkcją wiarygodności dla \(\displaystyle{ N =1}\) wymiarowej próby.

Jej logarytm jest równy

\(\displaystyle{ \ln [P(y|\theta)] = \ln {m \choose y} + y\ln (\theta) +(m-y)\ln (1 -\theta).}\)

Różniczkując ten logarytm, otrzymujemy równanie wiarygodności:

\(\displaystyle{ W(\theta) = \frac{1}{\theta}y - \frac{1}{1-\theta}(m - y)=0}\) (1)

Rozwiązując równanie (1) dostajemy estymator MNW parametru \(\displaystyle{ \theta}\) rozkładu dwumianowego:

\(\displaystyle{ \hat{\theta} = \frac{y}{m}.}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ m = 50}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \theta^{*} = \frac{1}{50} = 0,02(0).}\)

Z tabeli a), b), c) wynika, że najbliższa wartość dla \(\displaystyle{ x =1}\) równa \(\displaystyle{ \frac{1}{36}= 0,02(7)}\) znajduje się w tabeli b).

Najbardziej prawdopodobny do otrzymanych wyników jest rozkład podany w tabeli b).
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2017, o 22:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

Zrobiłem tym pierwszym sposobem i wyszły mi następujące wyniki:


\(\displaystyle{ \theta_{1} = 3.689473e-04\\
\theta_{2} = 1.073742e-03\\
\theta_{3} = 3.466854e-05\\
\theta_{4} = 4.096000e-03\\
\theta_{5} = 7.309440e-07\\
\theta_{6} = 4.652587e-02\\}\)


W tym wypadku maksymalną \(\displaystyle{ \theta}\) jest \(\displaystyle{ \theta_{6}}\) i jak rozumiem poszukujemy z innych rozkładów dla 6 najbliższego jej wyniku i jest to wynik z rozkładu b dla x=6 b= 0.2(7) ?

Czy dobrze to zrozumiałem ?

ok chyba źle to zrozumiałem. czyli jak już obliczyłem f. gęstości dla rzutów tomka i znalazłem te maksimum którym jest\(\displaystyle{ \theta_{6}}\) to wtedy z każdego rozkładu biore prawdopodobieństwo dla 6 i podstawiam pod f.gęstości a następnie licze błąd bezwzględny i biore ten który jest najmniejszy ?
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2017, o 12:29 przez zjavaa, łącznie zmieniany 2 razy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

To nie jest prawda, dla \(\displaystyle{ x = 6}\) w tabelce b) mamy wynik \(\displaystyle{ p_{6} = \frac{6}{36}= \frac{1}{6} = 0,1(6).}\)

Musimy podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ f}\) wartości \(\displaystyle{ \theta \in \left\{\frac{1}{50}, \frac{16}{50},
\frac{4}{50}, \frac{10}{50}, \frac{3}{50} \right\},}\)
odpowiednio dla \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i} = 1,2,3,4,5,6}}\) i wybrać wartość największą ("najbardziej wiarygodną").
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

janusz47 pisze:To nie jest prawda, dla \(\displaystyle{ x = 6}\) w tabelce b) mamy wynik \(\displaystyle{ p_{6} = \frac{6}{36}= \frac{1}{6} = 0,1(6).}\)

Musimy podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ f}\) wartości \(\displaystyle{ \theta \in \left\{\frac{1}{50}, \frac{16}{50},
\frac{4}{50}, \frac{10}{50}, \frac{3}{50} \right\},}\)
odpowiednio dla \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i} = 1,2,3,4,5,6}}\) i wybrać wartość największą ("najbardziej wiarygodną").

W tabelce b dla \(\displaystyle{ x=6}\) w tabelce b0 mamy wynik \(\displaystyle{ p_{6} = \frac{10}{36}= 0,2(7).}\)
wyżej z edytowałem swój poprzedni post możesz sprawdzić czy teraz jest dobrze ?
z góry dziękuje
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Jest ok!
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

tylko ze jak obliczyłem błąd bezwzględny to mi wyszło ze najlepszym rozkładem jest rozkład A czy to prawidłowa odp ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Nie zgadza się!

Proszę jeszcze raz podstawić:

\(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{50}\right)}\) dla każdej z \(\displaystyle{ \sum x_{i} = 1,2,3,4,5,6,}\)
......................................................................................................
.......................................................................................................

\(\displaystyle{ f\left( \frac{16}{50}\right)}\) dla każdej z \(\displaystyle{ \sum x_{i} = 1,2,3,4,5,6,}\)

Wybrać z każdego odstawienia największą wartość funkcji wiarygodności \(\displaystyle{ f^{*}}\) dla \(\displaystyle{ i =1,2,3,4,5,6.}\)

Przyjąć te wartości \(\displaystyle{ \theta_{i}^{*}.}\)

Porównać z tabelkami. Powinna to być tabelka b)
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

czyli dla każdej \(\displaystyle{ \theta}\) mam liczyć gęstość pierw dla 1 potem dla \(\displaystyle{ \sum x_{2}
następnie \sum x_{3}}\)

itd ?? i z tego wybierać max a jak już wybiorę tak dla każdej \(\displaystyle{ \theta}\) to potem znowu z tych \(\displaystyle{ \theta}\) wybrać max ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Zrozumiałeś!
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

Dziękuje za pomoc w zrozumieniu.
ehh ale robienie tą metodą to jakaś męka nawet korzystając z programu. Co prawda ja sam źle zdefiniowałem w programie funkcje ....
-- 20 wrz 2017, o 17:48 --

Obliczyłem gęstości wyszło że max \(\displaystyle{ \theta_{i}}\) jest dla \(\displaystyle{ x=1}\)
następnie obliczyłem tak samo obliczyłem dla pozostałych rozkładów czyli dla
a)
\(\displaystyle{ ( \frac{2}{36} ) dla \sum x_{1}}\)
....................................................
....................................................
\(\displaystyle{ (\frac{12}{36}) dla \sum x_{1}}\)
tak samo dla b) i c) następnie obliczyłem błąd bezwzględny dla liczb 1:6 zsumowałem go dla każdego rozkładu i najmniejsza suma błędów daje nam nasz poszukiwany rozkład

czy rozumowanie przedstawione powyżej jest dobre ?
przy tym rozumowaniu wychodzi mi rozkład b)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Jakiej sumy x_{1}?
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

Poprawiłem:
Obliczyłem gęstości wyszło że max \(\displaystyle{ \theta_{i}}\) jest dla \(\displaystyle{ x=1}\)

następnie tak samo obliczyłem dla pozostałych rozkładów
a)
\(\displaystyle{ f( \frac{2}{36} ) dla x_{1}}\)
....................................................
....................................................
\(\displaystyle{ f(\frac{12}{36}) dla x_{1}}\)

tak samo dla b) i c) następnie obliczyłem błąd bezwzględny dla liczb 1:6 zsumowałem go dla każdego rozkładu i najmniejsza suma błędów daje nam nasz poszukiwany rozkład
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: janusz47 »

Super.
zjavaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 wrz 2017, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zielona góra
Podziękował: 2 razy

Dopasuj rozkład (MNW)

Post autor: zjavaa »

Czyli rozumiem że prawidłowo rozwiązałem teraz to zadanie ?
bo wychodzi rozkład b)
ODPOWIEDZ