uzasadnic ze statystyka swobodna

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
aGabi94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 60 razy

uzasadnic ze statystyka swobodna

Post autor: aGabi94 » 22 sie 2017, o 10:31

Uzasadnic ze statystyka \(\displaystyle{ X_{(n)}-X_{(1)}}\) jest swobodna , gdzie X jest próbą prostą z rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ m}\) i wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14981
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 4963 razy

Re: uzasadnic ze statystyka swobodna

Post autor: Premislav » 22 sie 2017, o 16:06

Rozkład \(\displaystyle{ X_{(n)}}\) i \(\displaystyle{ X_{(1)}}\) można łatwo wyznaczyć, korzystając z gotowych wzorów na gęstość i-tej statystyki pozycyjnej lub rozważając dystrybuantę.
Niech \(\displaystyle{ X=(X_1, \ldots X_n)}\), skoro próba jest prosta, to \(\displaystyle{ X_i, i\in\left\{ 1\ldots n\right\}}\) są iid.
\(\displaystyle{ F_{X_{(n)}}(t)=\mathbf{P}(X_{(n)} \le t)=\mathbf{P}(\max X_i \le t)=\\=\mathbf{P}(X_1 \le t, \ldots X_n \le t)=\mathbf{P}\left( \frac{X_1-m}{\sigma} \le \frac{t-m}{\sigma}, \ldots \frac{X_n-m}{\sigma}\le \frac{t-m}{\sigma} \right)=\\=\left( \Phi\left( \frac{t-m}{\sigma}\right) \right)^n}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego (korzystam z niezależności i z tego, że gdy \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\), to \(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)}\)).
Po zróżniczkowaniu względem \(\displaystyle{ t}\) widzimy, że gęstość rozkładu \(\displaystyle{ X_{(n)}}\) jest postaci
\(\displaystyle{ \frac{n}{\sigma} \varphi\left( \frac{t-m}{\sigma} \right)\left( \Phi\left( \frac{t-m}{\sigma}\right) \right)^{n-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) to gęstość standardowego rozkładu normalnego.

Analogiczne rozważania (przy czym rzecz jasna \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{(1)} \le t)=1-\mathbf{P}(X_{(1)} >t)}\)) prowadzą do wniosku, że \(\displaystyle{ X_{(1)}}\) ma dystrybuantę
\(\displaystyle{ F_{X_{(1)}}(t)=1-\left(1-\Phi\left( \frac{t-m}{\sigma} \right) \right)^n}\)
i gęstość
\(\displaystyle{ \frac n\sigma \varphi\left( \frac{t-m}\sigma\right) \left(1-\Phi\left( \frac{t-m}{\sigma} \right) \right)^{n-1}}\)
Teraz należy policzyć
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( X_{(n)}-X_{(1)}\right) =\mathbf{E}(X_{(n)})-\mathbf{E}(X_{(1)})}\)
i wyciągnąć wnioski.

Choć można też podejść do tego znacznie prościej: mianowicie zaś zauważyć, że
\(\displaystyle{ \max(x_1-m, x_2-m, \ldots x_n-m)-\min\left( x_1-m, x_2-m, \ldots x_n-m\right) =\\=\max(x_1, x_2, \ldots x_n)-\min\left( x_1, x_2, \ldots x_n\right)}\)

aGabi94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 60 razy

Re: uzasadnic ze statystyka swobodna

Post autor: aGabi94 » 22 sie 2017, o 17:39

Dziękuję bardzo za rozwiązanie i pomoc

ODPOWIEDZ