Wartość oczekiwana liczby monet

[tomek1172]

Rzucamy jednocześnie \(\displaystyle{ n}\) monetami. Następnie zbieramy wszystkie monety, w których wypadł orzeł i rzucamy nimi po raz drugi. Niech \(\displaystyle{ E(n)}\) będzie wartością oczekiwaną liczby monet, które są zwrócone orłem do góry. Wówczas

\(\displaystyle{ a) E(17)=?}\)

Chyba trzeba wyprowadzić jakiś wzór. Gdyby nie było powiedziane, że rzucamy ponownie tymi monetami, na których jest orzeł, to wówczas wartość oczekiwaną wyrazilibyśmy takim wzorem?

\(\displaystyle{ EX=\sum^n_{k=0}k \cdot \frac{\binom nk}{2^n}}\),

gdzie:
\(\displaystyle{ n}\) - liczba rzutów
\(\displaystyle{ k}\) - liczba orłów, które możemy otrzymać
??

Nie wiem czy wzór jest poprawny. Jak go wówczas udoskonalić o kolejny rzut? Może można jakoś inaczej to zrobić? Jeśli należy zapisać jakiś inny wzór, to proszę o informacje jak go 'stworzyć'.

[Premislav]

Nie wiem, po co rozważać "co by było gdyby". Nie sądzę, by to w czymś pomogło, więc szkoda czasu.

Można to zrobić korzystając z następującego wzorku:
niech \(\displaystyle{ A_1, \ldots A_n}\) będą parami rozłącznymi zdarzeniami,\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_i)>0 \text{ dla } i=1,2\ldots n}\) i \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{n} A_i=\Omega}\) oraz niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową, dla której istnieje wartość oczekiwana. Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)= \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E}\left( X|A_i\right) \cdot \mathbf{P}(A_i)}\)
Proponuję \(\displaystyle{ A_i}\) - w pierwszym rzucie wypadło \(\displaystyle{ i}\) orłów, \(\displaystyle{ i \in\left\{ 0,1,2,\ldots n\right\}}\)

[RafalMajewskiPL]

Brakuje mi tu informacji czy wszystkie monety mają równą szansę na orła i reszkę. Np. jak wiemy że jedna z monet jest oszukana i ma 2 orły to się wynik zmieni.

(dla dalszych rozważań przypisuję orłowi 0 a reszce 1 i zakładam że \(\displaystyle{ i}\) to ilość serii rzutów)

Ale pomijając to, czy wartością oczekiwaną nie będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dla pierwszego rzutu?

Zakładając że rzucamy ponownie monetami na których wypadła reszka to wartością oczekiwaną jest (?): \(\displaystyle{ \frac{n}{2^{i}}}\)

[Premislav]

Co do symetryczności monet - słuszna uwaga. To może wobec braku odzewu ze strony autora wątku napiszę, jak by dalej wyglądało to moje rozwiązanie.
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_i)={n \choose i}2^{-n}, i=0,1\ldots n}\)
Nadto jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie \(\displaystyle{ A_i}\), to po pierwszym rzucie mamy \(\displaystyle{ i}\) orłów i \(\displaystyle{ n-i}\) reszek, rzucamy jeszcze raz monetami, na których wypadł orzeł, mamy więc rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ p=\frac 1 2, n=i}\), warunkowa wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X|A_i)}\) jest więc równa \(\displaystyle{ \frac{i}{2}}\)
Zatem ostatecznie dostajemy:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)=\sum_{i=0}^{n} \mathbf{E}\left( X|A_i\right) \cdot \mathbf{P}(A_i)=\\= \sum_{i=0}^{n}\frac{i}{2}{n \choose i}2^{-n}=\left( \frac 1 2\right)^{n+1} \sum_{i=0}^{n}i{n \choose i}=\left( \frac 1 2\right)^{n+1}n \sum_{i=1}^{n}{n-1 \choose i-1}=\frac{n}{4}}\)
bo
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}{n-1 \choose i-1}= \sum_{i=0}^{n-1}{n-1 \choose i}=2^{n-1}}\)

Tak, w pierwszym rzucie średnio wypadło \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) orłów. Zastanowię się, czy da się jakoś sformułować rozwiązanie bez warunkowej wartości oczekiwanej, pewnie tak...-- 25 lip 2017, o 16:15 --Aha, wzór \(\displaystyle{ EX=\sum^n_{k=0}k \cdot \frac{\binom nk}{2^n}}\), który otrzymał
tomek1172 jeśli za \(\displaystyle{ X}\) przyjmiemy wartość oczekiwaną liczby orłów po pierwszym rzucie, jest jak najbardziej poprawny, ale łatwiej o tym pomyśleć tak, że skoro rzucamy \(\displaystyle{ n}\) monetami, to mamy \(\displaystyle{ n}\) zmiennych losowych o rozkładzie dwupunktowym (orzeł-reszka, można to reprezentować np. przez \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)), każda ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), więc suma ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ n\cdot \frac 1 2=\frac n 2}\)
Chyba wstałem lewą nogą w dniu, w którym odpowiadałem w tym wątku po raz pierwszy, bo moja wypowiedź była nieuprzejma...

[tomek1172]

Brakuje mi tu informacji czy wszystkie monety mają równą szansę na orła i reszkę.

Treść jest podana w pełni, więc pewnie autor zadania założył, że tak, gdyż odpowiedź jest zgodna z tym co napisał Premislav. Dziękuję za pomoc.