Totolotek prawdopodobieństwo z 16 elementowego zbioru

[Geforce]

Witam wszystkich! Bardzo bym prosił o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań ! Bardzo dziękuję za pomoc.

1.Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowane w lotku 6 liczb z 49 będą pochodziły spośród ustalonego 16 elementowego zbioru liczb.

2.Obliczyć czy jednakowe jest prawdopodobieństwo wygrania w loterii zawierającej n biletów, spośród których jeden wygrywa i w loterii zawierającej 3n biletów, spośród których 3 wygrywają, jeśli gracz kupuje dwa bilety.

[janusz47]

Zadanie 2

Loteria pierwsza

\(\displaystyle{ P(\left\{X =2\right\}) = \frac{{1\choose 1}{n-1\choose 1}}{{n\choose 2}}= \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}.}\)

Loteria druga

\(\displaystyle{ P(\left\{Y =2\right\}) = \frac{{3\choose 2}+{3\choose 1}{3n-3\choose 1}}{{3n\choose 2}}= \frac{3 +3(3n-3)}{\frac{3n(3n-1)}{2}} = \frac{(9n -6)\cdot 2}{3n(3n-1)}= \frac{6n-4}{3n^2-n}.}\)

\(\displaystyle{ P(\left\{X =2\right\})=\frac{2}{n}> \frac{6n - 4 }{3n^2- n} =P(\left\{Y =2\right\}).}\)

[Geforce]

Zadanie 2

Loteria pierwsza

\(\displaystyle{ P(\left\{X =2\right\}) = \frac{{1\choose 1}{n-1\choose 1}}{{n\choose 2}}= \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}.}\)

Loteria druga

\(\displaystyle{ P(\left\{Y =2\right\}) = \frac{{3\choose 2}+{3\choose 1}{3n-3\choose 1}}{{3n\choose 2}}= \frac{3 +3(3n-3)}{\frac{3n(3n-1)}{2}} = \frac{(9n -6)\cdot 2}{3n(3n-1)}= \frac{6n-4}{3n^2-n}.}\)

\(\displaystyle{ P(\left\{X =2\right\})=\frac{2}{n}> \frac{6n - 4 }{3n^2- n} =P(\left\{Y =2\right\}).}\)

Dzięki ! Pierwszego nie dałbyś rady zrobić?

[janusz47]

Zadanie 1 (gdy zbiór szesnastu liczb nie jest ustalony (nie jest wyróżniony))

Pierwszy sposób

\(\displaystyle{ p_{1} = \frac{{16\choose 6}}{{49\choose 6}}.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> p1 = choose(16,6)/choose(49,6)
> p1
[1] 0.000572662

Drugi sposób

\(\displaystyle{ p_{2}= \frac{{43 \choose 10}}{{49 \choose 16}}}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> p2 = choose(43,10)/choose(49,16)
> p2
[1] 0.000572662

Zadanie 1 ( gdy zbiór szesnastu liczb jest ustalony (jest wyróżniony))

Rozkład hipergeometryczny

\(\displaystyle{ p = \frac{{16 \choose 6}{33 \choose 10}}{{49 \choose 16}}}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 p = choose(16,6)*choose(33,10)/choose(49,16)
> p
[1] 0.2213873

[Geforce]

Zadanie 1 ( gdy zbiór szesnastu liczb jest ustalony (jest wyróżniony))

Rozkład hipergeometryczny

\(\displaystyle{ p = \frac{{16 \choose 6}{33 \choose 10}}{{49 \choose 16}}}\)



Da się to bardziej rozpisać?

[janusz47]

Da się, korzystając z definicji symbolu Newtona.

\(\displaystyle{ p = \frac{\frac{16!}{6!10!}\cdot \frac{33!}{10!23!}}{\frac{49!}{16!33!}}.}\)

i upraszczając silnie

\(\displaystyle{ p = \frac{\frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}\cdot \frac{24\cdot 25\cdot 26\cdot 27 \cdot 28 \cdot 29\cdot 30\cdot 31\cdot 32\cdot 33}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9 \cdot 10}}{\frac{34\cdot 35 \cdot 36\cdot 37\cdot 38 \cdot 39 \cdot 40 \cdot 41\cdot 42 \cdot 43 \cdot 44 \cdot 45\cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16}}}\)

Proszę uprościć ułamki liczbowe.