Prawdopodobieństwo utworzenia trójkąta

[somas3k]

Zadanie:
Odcinek [0, 1] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część łamiemy losowo na dwie. Pierwszy punkt łamania ma rozkład zadany gęstością \(\displaystyle{ f_{X}(x) = \begin{cases} 6x(1-x) &\text {dla }x \in [0; 1] \\ 0 &\text {dla } x\not\in [0; 1] \end{cases}}\), a drugi ma rozkład jednostajny(przy ustalonym pierwszym punkcie). Jakie jest prawdopodobieństwo, że z otrzymanych odcinków można otrzymać trójkąt.

Rozbiłem to na dwa przypadki, tzn:
I przypadek: \(\displaystyle{ x < \frac{1}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y \in [x, 1]}\)
II przypadek: \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ y in [0, x)}\)

W pierwszym przypadku warunkami na stworzenie trójkąta są:
\(\displaystyle{ y>\frac{1}{2}\\x<\frac{1}{2}\\y<x+\frac{1}{2}}\)
W drugim:
\(\displaystyle{ y<\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{2}\\y>x-\frac{1}{2}}\)

Obszary na wykresie wyglądają tak:


W pierwszym przypadku gęstość \(\displaystyle{ y}\) to:
\(\displaystyle{ f_{Y|X}(x)=\frac{1}{1-x}}\)
W drugim:
\(\displaystyle{ f_{Y|X}(x)=\frac{1}{x}}\)

Czy do tego momentu wszystko zrobiłem dobrze?
Jeśli tak to w jaki sposób policzyć teraz prawdopodobieństwo?
Intuicja mi podpowiada, by przecałkować po tych obszarach z odpowiednimi gęstościami, następnie przecałkować po całych obszarach, w których znajdują się \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i podzielić jedno przez drugie. Problem w tym, że całkując po tych obszarach, które odpowiadają za możliwość stworzenia trójkąta suma całek po tych obszarach wynosi 0. W tym wypadku prawdopodobieństwo wyniosłoby 0 ale coś mi się zdaje, że raczej nie powinno takie wyjść. Pomożecie?

[Igor V]

Pomożecie?

Pomożemy

Chyba bez założenia o niezależności zmiennych losowych niewiele da się powiedzieć. Ale w tym celu trzeba by np: założyć że wybór \(\displaystyle{ y\in [0, 1]}\) i jest niezależny od wyboru pierwszego punktu
Chyba że ktoś ma inny pomysł.