Prawdopodobieństwo i Statystyka

[domixerka1996]

Zad. 1
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w paczce igieł dziewiarskich zawierającej 1000 sztuk znajdują się co najmniej dwie wybrakowane, jeżeli przeciętny procent braków wynosi 0,4%.

Zad.2
Trzy fabryki produkują seryjnie ten sam towar. Pierwsza zaopatruje rynek w 35%, druga w 25%, trzecia w 40%. Średni procent braków w produkcji pierwszej fabryki wynosi 2%, drugiej 4%, a trzeciej 3%. Kupiono na rynku sztukę towaru, która okazała się brakiem. Z której fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup braku ? Podać odpowiednie prawdopodobieństwo.

Zad.3
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin {cases} 0 ,-\infty <x< \pi \\ csin⁡x ,0 \le x \le \pi \\ 0 ,\pi<x<\infty \end {cases}}\)

Wyznaczyć stałą c. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{6} <X<\frac{\pi}{4} )}\), wartość oczekiwana dla X, wariancja dla X \(\displaystyle{ (\sigma^2)}\).

Zad.4
Zmienna losowa X ma rozkład N(4,2), obliczyć Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ ( |X-2|<3)}\)

Zad.5
Czas pracy wybranych 16 baterii mierzony w godzinach był następujący:

25,1 43,5 31,2 34,0 51,4 9,3 21,3 5,4 14,3 24,9
20,6 48,8 45,5 17,1 24,2 21,5

Znaleźć 95 procentowy przedział ufności dla wartości przeciętnej czasu pracy baterii.

[Premislav]

Co to jest wariacja? Jak ja dodaję śmietany i innego startego sera niż w przepisie do spaghetti carbonara, to to jest wariacja. Może jednak chodziło o WARIANCJĘ, hm?

4.
\(\displaystyle{ mathbf{P}left( |X-2|<3
ight) =mathbf{P}(-3<X-2<3)=mathbf{P}(X-2<3)-mathbf{P}(X-2 le -3)=\=mathbf{P}left( X-4<1
ight)-mathbf{P}left( X-4 le -5
ight) =\=mathbf{P}left(frac{ X-4}{2}<frac 1 2
ight)-mathbf{P}left(frac{ X-4}{2} le -frac 5 2
ight)=\=Phileft( frac 1 2
ight) -Phileft( -frac 5 2
ight)}\)
i to odczytać z tablic standardowego rozkładu normalnego.
Przyjąłem tutaj, że drugi parametr to odchylenie standardowe (\(\displaystyle{ sigma}\)), a nie wariancja (\(\displaystyle{ sigma^2}\)), bo taką konwencję często się przyjmuje na kierunkach technicznych, a sądząc po lokalizacji matematyki nie studiujesz. Jeśli drugi parametr w tym zadaniu to jednak wariancja, to trzeba nieco skorygować te obliczenia. Zobacz też tu:
291136.htm

[domixerka1996]

haha, masz rację. Dziękuje za częściową pomoc.-- 18 cze 2017, o 14:24 --edytowane

[Premislav]

3.
Gęstość ma być nieujemna i całkować się do \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ 1= \int_{0}^{\pi}c \sin x \,\dd x=-c \cos x\bigg|^{x=\pi}_{x=0}=2c\\1=2c \Leftrightarrow c=\frac 1 2}\)

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{\pi}{6}<X< \frac{\pi}{4} \right) = \int_{\frac \pi 6 }^{\frac \pi 4}\frac 1 2 \sin x \,\dd x=-\frac 1 2\cos x\bigg|^{x=\frac \pi 4}_{x=\frac \pi 6}= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}}\)

\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X]= \int_{0}^{\pi} x\cdot \frac 1 2\sin x \,\dd x=\dots\\ \mathrm{Var} X= \int_{0}^{\pi}\left( x-\mathbf{E}[X]\right)^2 \cdot \frac 1 2\sin x \,\dd x}\)

Wystarczy scałkować przez części.