Weryfikacja istotności odchylenia standardowego

[derobert]

Cześć, mam problem z doborem wzoru do zadania o treści

"Czy na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0.05}\) można stwierdzić, że odchylenie standardowe wieku osób z danej grupy jest istotnie różne od 10 lat? Założyć normalność rozkładu".

Grupa liczy 332 osoby. Średnia wieku tej grupy osób wynosi 31.31 lat, odchylenie standardowe wieku osób z tej grupy wynosi 10.63. Wartość sigma = 10 (?) Jak powinna być skonstruowana hipoteza do tego zadania?

Nie wiem jakiego wzoru użyć do wyliczenia istotności tego odchylenia standardowego. Próbowałem takim wzorem \(\displaystyle{ T=\frac{(n-1)S^{2})}{\sigma^2}}\) i T wychodzi mi 374 i potem kwantyle \(\displaystyle{ left (0, chi^2left ( frac{alpha}{2};n-1
ight )
ight ]igcup left [chi ^2(1-frac{alpha}{2};n-1 ),+infty
ight )}\) - lewy wychodzi mi 282, a prawy 383 i zastanawiam się, czy to dobry wynik? Jak go interpretować?

[janusz47]

Próba \(\displaystyle{ n = 332 > 30}\) osób należy do dużych prób.

Dla weryfikacji hipotezy odchylenia standardowego jak i wariancji korzysta się z przekształcenia statystyki \(\displaystyle{ T}\) którą podałeś - na statystykę

\(\displaystyle{ Z = \sqrt{2T} - \sqrt{2n -3}}\)

Statystyka \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład asymptotycznie normalny \(\displaystyle{ N(0, 1).}\)

Obustronny obszar krytyczny testu w rozkładzie tej statystyki wyznaczamy na podstawie relacji

\(\displaystyle{ P(|z| \geq z_{\alpha})= \alpha}\)

z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R,

tak jak ma to miejsce w testach , gdy rozkład statystyki jest normalny \(\displaystyle{ N(0,1).}\)

[derobert]

Hej, dziękuję za odpowiedź. Czy jesteś w stanie sprawdzić czy dobrze to robię w 'R'?
Po zastosowaniu wzoru podanego przez Ciebie \(\displaystyle{ Z}\) wychodzi mi: 1.656407

Co muszę zrobić dalej?

[janusz47]

Hipotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: \sigma = 10}\) lat

\(\displaystyle{ H_{1}: \sigma \neq 10}\) lat

Statystyka testowa

\(\displaystyle{ Z = \sqrt{2T} -\sqrt{2n -3}.}\)

Wartość statystyki testowej dla danych z próby

Program R

Kod: Zaznacz cały

> z = sqrt(2*(332-1)*10.63^2/10^2) - sqrt(2*332-3)
> z
[1] 1.64039

Obszar krytyczny testu \(\displaystyle{ K}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> zalpha = qnorm(0.95)
> zalpha
[1] 1.644854

\(\displaystyle{ K = \left(-\infty, -1,644854 \rangle \cup \langle 1,644854, +\infty \right).}\)



\(\displaystyle{ z = 1,64039 \notin \left(-\infty, -1,644854 \rangle \cup \langle 1,644854, +\infty \right) =K .}\)

Z prawdopodobieństwem 0,95 nie ma potrzeby twierdzić, że odchylenie standardowe (wariancja) wieku osób jest istotnie różne (istotnie różna) od 10 lat.