Obliczyć prawodopodbieństwa trzech zmiennych niezaleznych

[rachu_ciachu]

Zmienne \(\displaystyle{ X, Y, Z}\) są niezależne przy czym
\(\displaystyle{ X \sim N(0,1), Y \sim N(2,1), Z \sim \chi^{2}_{9}}\)

Obliczyć prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ P(X^{2}+(Y-2)^2>6),}\)
\(\displaystyle{ P(\frac{4}{3} X <\sqrt{Z}),}\)
\(\displaystyle{ P(Y>2+\frac{2}{5}\sqrt{Z})}\)

[Premislav]

Następujące fakty będą przydatne:
1) Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\),
to \(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( 0,1\right)}\).
2) Jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, \dots X_n}\) są niezależne, o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\), to
\(\displaystyle{ X_1^2+\dots+X_n^2= \sum_{i=1}^{n} X_i^2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2_{n}}\)
3) Jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, \dots X_n}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2_i)}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( \sum_{i=1}^{n}\mu_i, \sum_{i=1}^{n}\sigma^2_i \right)}\)
Wszędzie \(\displaystyle{ \sigma^2}\) u mnie oznacza wariancję.

Zatem
\(\displaystyle{ X^2+(Y-2)^2 \sim \chi^2_{2}}\) i tak dalej.

[rachu_ciachu]

Bardzo Ci dziękuję za wskazówki - a czy mógłbyś nieco rozwinąć? Nie przerabiałam wcześniej takich przykładów a nie chciałabym popełnić błędu - czy rozwijam \(\displaystyle{ (Y-2)^2}\) czy nie? Kiedy robię standaryzację zmiennej Y? Wiem jak wygląda obliczanie prawdopodobieństwa przy jednej zmiennej ale przy kilku mam trochę problem, więc z góry bardzo dziękuje!

[Premislav]

Np. skoro \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ mathcal{N}(2,1)}\), to
\(\displaystyle{ Y-2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ mathcal{N}(0,1)}\), więc
\(\displaystyle{ X^2+(Y-2)^2}\) ma przy założeniach zadania rozkład \(\displaystyle{ chi^2_2}\),
więc \(\displaystyle{ mathbf{P}left( X^2+(Y-2)^2 > 6
ight)}\) możesz odczytać z tablic rozkładu chi kwadrat lub policzyć odpowiednią całeczkę (tego drugiego nie polecam, ale co kto lubi).
Trochę trudniej może być z tym \(\displaystyle{ sqrt{Z}}\), to przeoczyłem, więc właściwie częśc moich wskazówek była nietrafna.
Może się tu przydać coś innego, a mianowicie rozkład t-Studenta. Jeśli zmienne losowe
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ mathcal{N}(0,1)}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ chi^2_r}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ T= frac{X}{ sqrt{ frac{Y}{r} } }}\)
ma rozkład t-Studenta z \(\displaystyle{ r}\) stopniami swobody. Więc ja bym zapisał
\(\displaystyle{ mathbf{P}left(frac{4}{3} X <sqrt{Z}
ight)=mathbf{P}left( frac{X}{sqrt{ frac{Z}{9} }} < frac 9 4
ight)}\)
i zmienna losowa \(\displaystyle{ frac{X}{sqrt{ frac{Z}{9} }}}\) ma przy założeniach zadania rozkład t-Studenta z \(\displaystyle{ 9}\) stopniami swobody, więc można skorzystać z tablic rozkładu t-Studenta, by otrzymać to prawdopodobieństwo.

Również w celu obliczenia tego ostatniego prawdopodobieństwa można wykorzystać rozkład t-Studenta, w tym celu zapisz
\(\displaystyle{ mathbf{P}left(Y>2+frac{2}{5}sqrt{Z}
ight)=mathbf{P}left( frac{Y-2}{sqrt{ frac{Z}{9} }}> frac 6 5
ight)}\)
i znów skorzystaj z tablic rozkładu t-Studenta.

Przydatne wątki:
39336.htm
291136.htm