Metoda największej wiarygodności
-
kolarz3
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 mar 2015, o 23:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zawiercie
- Podziękował: 1 raz
Metoda największej wiarygodności
Metodą największej wiarygności znaleźć ocenę dla parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) populacji generacji o gęstości: \(\displaystyle{ \[ f(x) = \lambda ^ 4 \cdot x^3 \cdot e^{- \lambda \cdot x}, x > 0 \]}\). Jak zrobić to zadanie
Ostatnio zmieniony 19 cze 2018, o 13:31 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Metoda największej wiarygodności
Funkcja wiarygodności
\(\displaystyle{ W(x, \lambda) = \prod_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \lambda ^{4n} \prod_{i=1}^{n} x^{3n}_{i}e ^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}}.}\)
Logarytm naturalny funkcji wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(x, \lambda) = \ln(W(x,\lambda) = 4n \ln(\lambda) + 3n\sum_{i=1}^{n}x_{i} - \lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
Maksimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ L'_{|\lambda}(x,\lambda) = \frac{4n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
\(\displaystyle{ (L'_{|\lambda}(x,\lambda) = 0) \rightarrow ( \frac{4n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_{i}=0 ).}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{4n}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}}\)
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{4}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}} = \frac{4}{\overline{x}}.}\)
Estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ \hat{\lambda} = \frac{4}{\overline{X}}.}\)
\(\displaystyle{ L^{''}_{|\lambda}(x,\lambda) = \frac{-4n}{\lambda^2}< 0}\)
Funkcja wiarygodności dla znalezionej wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) osiąga maksimum lokalne.
\(\displaystyle{ W(x, \lambda) = \prod_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \lambda ^{4n} \prod_{i=1}^{n} x^{3n}_{i}e ^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}}.}\)
Logarytm naturalny funkcji wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(x, \lambda) = \ln(W(x,\lambda) = 4n \ln(\lambda) + 3n\sum_{i=1}^{n}x_{i} - \lambda\sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
Maksimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ L'_{|\lambda}(x,\lambda) = \frac{4n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
\(\displaystyle{ (L'_{|\lambda}(x,\lambda) = 0) \rightarrow ( \frac{4n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_{i}=0 ).}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}.}\)
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{4n}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}}\)
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{4}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}} = \frac{4}{\overline{x}}.}\)
Estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ \hat{\lambda} = \frac{4}{\overline{X}}.}\)
\(\displaystyle{ L^{''}_{|\lambda}(x,\lambda) = \frac{-4n}{\lambda^2}< 0}\)
Funkcja wiarygodności dla znalezionej wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) osiąga maksimum lokalne.