Witajcie!
Rozwiązałem zadanie o treści:
Z populacji pobrano 450-elementowa próbkę i otrzymano \(\displaystyle{ s^{*2}=14.9}\). Na poziomie istotności
\(\displaystyle{ \alpha=0.05}\) zweryfikować hipotezę \(\displaystyle{ H:\sigma^{2}=16}\) , jeśli hipoteza alternatywna jest \(\displaystyle{ K:\sigma^{2}<16}\).
Jeśli wszystko dobrze policzyłem to otrzymałem wynik: \(\displaystyle{ P(3.6<\sigma<4.11)=0.95}\)
Pytanie: czy hipotezę H należy odrzucić na rzecz hipotezy K czy nie?
Jak to oszacować?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Jak to oszacować?
Proszę nie mylić dwustronnego przedziału ufności dla wariancji z testowaniem hipotez o wariancji.
Hipotezy:
\(\displaystyle{ H_{0}: \sigma^2 = 16, \ \ H_{1}: \sigma^2 < 16.}\)
Znajdujemy:
- wartość statystyki testowej:
\(\displaystyle{ \chi^2_{450}= \frac{450\cdot 14,9}{16^2}\approx 26,2.}\)
Dla dużych prób \(\displaystyle{ n > 30}\) statystykę \(\displaystyle{ \chi^2}\) zastępujemy statystyką
\(\displaystyle{ Z = \sqrt{2\chi^2} - \sqrt{2n -3}}\), która ma rozkład asymptotycznie normalny \(\displaystyle{ N(0,1).}\)
W naszym przypadku wartość tej statystyki:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2\cdot 26,2} - \sqrt{900 -3} \approx -22, 7}\)
- lewostronny obszar krytyczny testu \(\displaystyle{ K}\)wyznaczamy ( z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1 ))}\)
\(\displaystyle{ (\phi(k) = 1-\alpha = 0,95) \rightarrow (k \approx 1,64).}\)
Obszar krytyczny testu:
\(\displaystyle{ K = (-\infty, -1,64 \rangle .}\)
Wartość statystyki testowej:
\(\displaystyle{ z = -22,7 \in K =(-\infty, -1,64 \rangle}\)
Decyzja:
Hipotezę zerową odrzucamy, przyjmujemy hipotezę alternatywną ( wariancja przyjmuje wartość mniejszą od szesnastu).
Hipotezy:
\(\displaystyle{ H_{0}: \sigma^2 = 16, \ \ H_{1}: \sigma^2 < 16.}\)
Znajdujemy:
- wartość statystyki testowej:
\(\displaystyle{ \chi^2_{450}= \frac{450\cdot 14,9}{16^2}\approx 26,2.}\)
Dla dużych prób \(\displaystyle{ n > 30}\) statystykę \(\displaystyle{ \chi^2}\) zastępujemy statystyką
\(\displaystyle{ Z = \sqrt{2\chi^2} - \sqrt{2n -3}}\), która ma rozkład asymptotycznie normalny \(\displaystyle{ N(0,1).}\)
W naszym przypadku wartość tej statystyki:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2\cdot 26,2} - \sqrt{900 -3} \approx -22, 7}\)
- lewostronny obszar krytyczny testu \(\displaystyle{ K}\)wyznaczamy ( z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1 ))}\)
\(\displaystyle{ (\phi(k) = 1-\alpha = 0,95) \rightarrow (k \approx 1,64).}\)
Obszar krytyczny testu:
\(\displaystyle{ K = (-\infty, -1,64 \rangle .}\)
Wartość statystyki testowej:
\(\displaystyle{ z = -22,7 \in K =(-\infty, -1,64 \rangle}\)
Decyzja:
Hipotezę zerową odrzucamy, przyjmujemy hipotezę alternatywną ( wariancja przyjmuje wartość mniejszą od szesnastu).