Wyznaczyć dystrybuante

[ichimera21]

W pewnej miejscowości temperatura T (w stopniach Celsjusza) mierzona w dniu 1 marca o godzinie 8 jest zmienną losową o gęstości :

\(\displaystyle{ f(t)= \frac{1}{2}e ^{-|t| }}\)

Wyznaczyć jej dystrybuantę oraz obliczyć:

\(\displaystyle{ P(|T|<2)}\)

[Premislav]

Dystrybuanta (gdy rozkład ma gęstość) to po prostu całka z gęstości:
\(\displaystyle{ F_T(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)\,\dd t= \int_{-\infty}^{x}\frac 1 2 e^{-|t|} \,\dd t}\)
natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{P}(T \le 2)=F_T(2)}\)
A tamtą całkę możesz policzyć, np. rozbijając na przypadki:
\(\displaystyle{ x \le 0, x>0}\) i korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ |t|= \begin{cases} -t \text{ dla }t \le 0 \\ t \text{ dla }t>0 \end{cases}}\)-- 27 maja 2017, o 19:32 --Aha, no i oczywiście nie zauważyłem tego modułu, to tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|T|<2)=\mathbf{P}(-2<T<2)= \int_{-2}^{2} f(t)\,\dd t}\)

[ClarkKent]

Również mam kłopot z tym zadaniem. Dystrybuantę liczę tak:
\(\displaystyle{ f(t)=\frac12e^{-|t|} \text{ dla }-\infty<x<\infty\\
F_T(t)=\int^t_{-\infty}\frac12 e^{-|x|}dx\\
=\frac12\int^t_{-\infty}e^{-|x|}dx\\
=\frac12\bigg(\int_{-\infty}^0 e^{-(-x)}+\int_0^\infty e^{-x} dx\bigg)\\
=\frac12\bigg(\lim_{t_1\to-\infty}\int_{t_1}^0 e^x+\lim_{t_2\to\infty}\int_0^{t_2}e^{-x} dx\bigg)\\
=\frac12\bigg(\lim_{t_1\to-\infty} [ e^x]_{t_1}^0+\lim_{t_2\to\infty} [e^{-x} ]_0^{t_2}\bigg)\\
=\frac12\bigg(1-\lim_{t_1\to-\infty}e^{t_1}-\lim_{t_2\to\infty}e^{-t_2}+1\bigg)\\
=\frac12(1-0+1-0)\\
=\frac12 \cdot2\\
=1}\)
Zatem dystrybuanta to \(\displaystyle{ F_T(t)=1}\) ? Jeśli tak, to czy
\(\displaystyle{ P(|T|<2)=P(-2<T<2)=F(2)-F(-2)=1-1=0\text{ ?}}\)
Skoro tak to wynik dla prawdopodobieństwa policzonego z gęstości chyba powinien być taki sam a u mnie wychodzi odpowiednio
\(\displaystyle{ P(|T|<2)\\=P(-2<T<2)\\=\frac12\int^2_{-2}e^{-|x|}dx\\
=\frac12\bigg([e^x]_{-2}^0+[-e^{-x}]_{0}^2\bigg)\\
=\frac12(e^0-e^{-2}-e^{-2}+e^0)\\
=\frac12(2-2e^{-2})\\
=1-e^{-2}\\
=1-\frac1{e^2}}\)
Sam już nie wiem czy gdzieś popełniłem błąd czy nie, proszę o wskazówki. Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[MrCommando]

Nie wychodzi dlatego, że policzyłeś tak naprawdę całkę z gęstości prawdopodobieństwa po zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Wtedy nic dziwnego, że wychodzi \(\displaystyle{ 1}\) (wynika to z definicji gęstości). Dystrybuanta jest z kolei postaci \(\displaystyle{ F(x)=P(X<x)=\int_{-\infty}^xf(t)\mbox{d}t}\).

\(\displaystyle{ \frac12\bigg(\int_{-\infty}^0 e^{-(-x)}+\int_0^\infty e^{-x} dx\bigg)\\}\)

Na przykład to powyższe jest bez sensu, bo to całka po zbiorze liczb rzeczywistych po prostu.