Następujące zadanie:
Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ X_{1} i X_{2}}\) są niezależne o jednakowych rozkładach wykładniczych \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\) z funkcją gęstości \(\displaystyle{ f_{X}(x) = \lambda e^{-\lambda x}}\) dla x>0, to \(\displaystyle{ Y=|X_{2}-X_{1}|}\) też ma rozkład \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\).
Czy jest jakiś sposób, by pokazać to bez wyliczania dystrybuanty Y i gęstości? Myślę, że jak na kolokwium to to zadanie nie może polegać na bezsensownym liczeniu całek by pomylić się parę razy po drodze.
Z góry dziękuję za pomoc .
Pokaż, że dla niezależnych X1 X2, Y=|X2-X1| ma ten sam rozkł
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Pokaż, że dla niezależnych X1 X2, Y=|X2-X1| ma ten sam r
Można znaleźć funkcję charakterystyczną albo funkcję tworzącą momenty (zarówno jedna, jak i druga identyfikuje w sposób jednoznaczny rozkład) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_2-X_1}\), jeśli tego nie znasz, to nie mam innych pomysłów niż walka z dystrybuantą/gęstością.
Tak wyglądałoby rozwiązanie posiłkujące się funkcjami charakterystycznymi:
funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathrm{E}xp(\lambda)}\) jest
\(\displaystyle{ \varphi(t)=\mathbf{E}e^{itX}= \int_{0}^{+\infty} \lambda e^{itx}e^{-\lambda x}\,\dd x= \lambda\int_{0}^{+\infty}e^{-x(\lambda-it)}\,\dd x= \frac{\lambda}{\lambda-it}}\)
Ponadto funkcja charakterystyczna (skończonej) sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych.
Oczywiście \(\displaystyle{ X_2-X_1=X_2+(-X_1)}\) i jeśli \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) są niezależne, to
\(\displaystyle{ -X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) też są niezależne.
Ponadto \(\displaystyle{ \varphi_{a\cdot X+b}(t)=e^{itb}\varphi_{x}(a\cdot t)}\). Zatem funkcja charakterystyczna zmiennej losowej
\(\displaystyle{ X_2-X_1}\) ma postać
\(\displaystyle{ \varphi_{X_2-X_1}(t)= \frac{\lambda}{\lambda-it} \frac{\lambda}{\lambda+it}= \frac{\lambda^2}{\lambda^2+t^2}}\)
Tutaj niestety trzeba wiedzieć, że jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a o gęstości jak następująca:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}, x \in \RR}\)
- oczywiście \(\displaystyle{ \lambda>0}\).
A mając rozkład \(\displaystyle{ X_2-X_1}\), bez problemu możemy znaleźć rozkład \(\displaystyle{ |X_2-X_1|}\).
Mianowicie, jest dość jasnym, iż
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_2-X_1| \le t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t < 0 \\ \mathbf{P}(-t \le X_2-X_1 \le t) \text{ gdy } t\ge 0 \end{cases}}\)
Zaś
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-t \le X_2-X_1 \le t)=\mathbf{P}(X_2-X_1 \le t)-\mathbf{P}(X_2-X_1 \le -t)= \\=\int_{-\infty}^{t} \frac{\lambda }{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x- \int_{-\infty}^{-t} \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x= \int_{-t}^{t} \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x=\dots=1-e^{-\lambda t}}\)
a to jest dystrybuanta rozkładu \(\displaystyle{ \mathrm{E}xp(\lambda)}\).
Pasjonujące obliczenia na końcu pominąłem, to jest poziom drugiego semestru studiów (albo na technicznych - końca pierwszego semestru).
Tak wyglądałoby rozwiązanie posiłkujące się funkcjami charakterystycznymi:
funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim \mathrm{E}xp(\lambda)}\) jest
\(\displaystyle{ \varphi(t)=\mathbf{E}e^{itX}= \int_{0}^{+\infty} \lambda e^{itx}e^{-\lambda x}\,\dd x= \lambda\int_{0}^{+\infty}e^{-x(\lambda-it)}\,\dd x= \frac{\lambda}{\lambda-it}}\)
Ponadto funkcja charakterystyczna (skończonej) sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych.
Oczywiście \(\displaystyle{ X_2-X_1=X_2+(-X_1)}\) i jeśli \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) są niezależne, to
\(\displaystyle{ -X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) też są niezależne.
Ponadto \(\displaystyle{ \varphi_{a\cdot X+b}(t)=e^{itb}\varphi_{x}(a\cdot t)}\). Zatem funkcja charakterystyczna zmiennej losowej
\(\displaystyle{ X_2-X_1}\) ma postać
\(\displaystyle{ \varphi_{X_2-X_1}(t)= \frac{\lambda}{\lambda-it} \frac{\lambda}{\lambda+it}= \frac{\lambda^2}{\lambda^2+t^2}}\)
Tutaj niestety trzeba wiedzieć, że jest to funkcja charakterystyczna rozkładu Laplace'a o gęstości jak następująca:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}, x \in \RR}\)
- oczywiście \(\displaystyle{ \lambda>0}\).
A mając rozkład \(\displaystyle{ X_2-X_1}\), bez problemu możemy znaleźć rozkład \(\displaystyle{ |X_2-X_1|}\).
Mianowicie, jest dość jasnym, iż
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_2-X_1| \le t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t < 0 \\ \mathbf{P}(-t \le X_2-X_1 \le t) \text{ gdy } t\ge 0 \end{cases}}\)
Zaś
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-t \le X_2-X_1 \le t)=\mathbf{P}(X_2-X_1 \le t)-\mathbf{P}(X_2-X_1 \le -t)= \\=\int_{-\infty}^{t} \frac{\lambda }{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x- \int_{-\infty}^{-t} \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x= \int_{-t}^{t} \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}\,\dd x=\dots=1-e^{-\lambda t}}\)
a to jest dystrybuanta rozkładu \(\displaystyle{ \mathrm{E}xp(\lambda)}\).
Pasjonujące obliczenia na końcu pominąłem, to jest poziom drugiego semestru studiów (albo na technicznych - końca pierwszego semestru).