Oczekiwana wartość i współczynnik korelacji zmiennych X i Y

[timus221]

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o funkcji gęstości :

\(\displaystyle{ f(x,y)=c(x+y)}\) , dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \le y \le 1-x}\).

Wyznaczyć współczynnik C i wspołczynnik korelacji zmiennych.

Moje rozwiązanie:

Współczynnik c wyliczyłem z równości :
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}c(x+y) dy dx=1}\).

Wyszło mi c=6.

Współczynnik korelacji muszę chyba policzyć z równości:
\(\displaystyle{ cor _{x,y} = \frac{cov(X,Y)}{ \alpha _{x} \cdot \alpha _{y} } = \frac{E(XY)-E(X)-E(Y)}{ \alpha _{x} \cdot \alpha _{y}}}\) ,gdzie

\(\displaystyle{ \alpha}\) -odchylenie standardowe,
\(\displaystyle{ cov(X,Y)}\) - kowariancja

Zacząłem liczyć wartośći oczekiwane E(X),E(Y), E(XY) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{1} xf(x)dx= \frac{3}{4}}\), bo \(\displaystyle{ f(x)= \int_{0}^{1-x}f(x,y)dy=3-3x ^{2}}\)

Teraz zaczyna się mój problem, jak należy liczyć E(Y), czy tak:

\(\displaystyle{ E(Y) = \int_{0}^{1-x}y \cdot f(y) dy}\),

czy raczej:

\(\displaystyle{ E(Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}y \cdot f(y) dy dx}\) ?

Podobnie nie wiem jak do końca postąpić z E(XY). Ciągle nie jestem pewien granic całkowania i samych całek.

[SlotaWoj]

... dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) \(\displaystyle{ 0 \le y \le 1-x}\).

A co to za warunek?

Jeśli byłoby np. \(\displaystyle{ x=5}\) , to wówczas musiałoby być \(\displaystyle{ 10\le y\le-4}\) ,

[timus221]

już poprawione

[Premislav]

Moim zdaniem powinno wyjść \(\displaystyle{ c=3}\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(x+y) \dd y \dd x= \int_{0}^{1}\left(x-x^2+ \frac{(1-x)^2}{2} \right)\,\dd x=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 6=\frac 1 3}\)
więc trzeba pomnożyć funkcję podcałkową przez \(\displaystyle{ 2}\), by się całkowała do jedynki. Ale może nie umiem liczyć... Lepiej sprawdź to w jakimś programie.

Następnie wystarczy skorzystać z takiego wzoru:
dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \varphi}\) i gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x,y)}\) wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ \varphi(X, Y)\right]= \int_{\RR^2}^{} \int_{}^{} \varphi(x,y) f(x,y) \,\dd (x,y)}\)
czyli w szczególności \(\displaystyle{ \mathbf{E}[XY]=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}3xy(x+y) \dd y \dd x}\)

-- 22 maja 2017, o 19:09 --

Poza tym coś mi tu nie pasi w tych Twoich wzorkach. A nie jest czasem
\(\displaystyle{ \mathrm{cov}(X, Y)=\mathbf{E}[XY]-\mathbf{E}X\mathbf{E}Y}\)

[timus221]

Ze wszystkim, masz rację c=3, bo pomyliłem się w mnożeniu na samym końcu, z \(\displaystyle{ E(XY)}\) i wzorem także się zgadzam, podobnie jak z kowariancją. Jednak nie wiem nadal jak policzyć \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ E(Y)}\), zawsze pojawia się u mnie problem z granicami całkowania.

[Premislav]

Granic całkowania nie ruszasz. Powinno być tak (też z tego wzorku, który napisałem):
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}3(x+y) \cdot x \,\dd y \,\dd x \\ \mathbf{E}(Y)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}3(x+y) \cdot y \,\dd y \,\dd x}\)

[timus221]

Super Dziękuję, a wiesz może jeszcze, jak wyznacza się warunki brzegowe? Bo widziałem już gdzieś takie rozwiązanie, które przedstawiasz,ale nei byłem go pewien. Chodzi mi o coś takiego:

\(\displaystyle{ fx(x)= \int_{}^{} f(x,y) dy}\)

\(\displaystyle{ fy(y)= \int_{}^{} f(x,y) dx}\)

Nie mam jednak tu pojęcia jak ustala się te przedziały całkowania.

[Premislav]

Niestety nie bardzo rozumiem, o co Ci chodzi. Może ktoś inny załapie i wytłumaczy...