Na podstawie próby losowej, obejmującej 100 kwitów kasowych na stoisku kosmetycznym w domu
towarowym „Centrum”, otrzymano średnią arytmetyczną kwoty zakupu, wynoszącą 15,4 zł oraz
odchylenie standardowe kwoty zakupu wynoszące 4 zł.
a) Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku.
b) Wśród 200 losowo wybranych kwitów 28 wystawiono na kwotę powyżej 50 zł. Oszacować metodą
przedziałową prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kwit na tym stoisku będzie opiewać na
taką właśnie kwotę (poziom ufności 0,99).
Przedział ufności, metoda przedziałowa prawdopodobieństwa
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Przedział ufności, metoda przedziałowa prawdopodobieństwa
a)
Dwustronny przedział dla średniej (rozklad cechy nieznany, duża próba)
\(\displaystyle{ \langle \overline{X_{n}}} - \frac{S_{100}u_{\alpha}}{\sqrt{n}};\overline{X_{n}}} + \frac{S_{100}u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \rangle}\) (1)
\(\displaystyle{ 1 -\alpha = 0,95, \ \ \alpha = 0,05.}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,05}\) wyznaczamy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przyklad R.
\(\displaystyle{ \phi(u_{\alpha}) = 1 - \frac{\alpha}{2}= 1 -0,025 = 0,975.}\)
Podstawiając dane liczbowe do (1), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \langle 15,4 - \frac{4\cdot 1,96}{\sqrt{100}}; \ \ 15,4 + \frac{4\cdot 1,96}{\sqrt{100}}\rangle = \langle 14,6; \ \ 16, 2 \rangle}\) zł.
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 14,6}\) zł.\(\displaystyle{ 16, 2}\) zł. należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją przeciętną kwotę wszystkich zakupów na stoisku kosmetycznym, a nie tylko próby \(\displaystyle{ 100}\) - elementowej.
b)
Przedział ufności dla proporcji ( frakcji, wskaźnika struktury)
\(\displaystyle{ P \left( p* - z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}}\leq p \leq p* + z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}}\right) = 1-\alpha}\) (2)
Podstawiamy do (2)
\(\displaystyle{ n = 200, \ \ p* = \frac{28}{200}= \frac{7}{50}, \ \ 1- \alpha = 0,99, \ \ z_{\alpha} = z_{0,01} = 2,58}\) ( na podstawie tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu R).
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ P\left( \frac{7}{50} - 2,58\sqrt{\frac{7\cdot 43}{2500\cdot 200}}\leq p \leq \frac{7}{50} + 2,58 \sqrt{\frac{7\cdot 43}{2500\cdot 200}} \right) = 0,99.}\)
\(\displaystyle{ P\left( 0,115 \leq p \leq 0,165 ) = 0,99.}\)
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 11,5\%, \ \ 16,5\%}\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją prawdopodobieństwo wylosowania kwitu sprzedaży na kwotę powyżej \(\displaystyle{ 50}\) zł. z całej ich populacji, a nie tylko z próby \(\displaystyle{ 200}\) kwitów.
Dwustronny przedział dla średniej (rozklad cechy nieznany, duża próba)
\(\displaystyle{ \langle \overline{X_{n}}} - \frac{S_{100}u_{\alpha}}{\sqrt{n}};\overline{X_{n}}} + \frac{S_{100}u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \rangle}\) (1)
\(\displaystyle{ 1 -\alpha = 0,95, \ \ \alpha = 0,05.}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,05}\) wyznaczamy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przyklad R.
\(\displaystyle{ \phi(u_{\alpha}) = 1 - \frac{\alpha}{2}= 1 -0,025 = 0,975.}\)
Kod: Zaznacz cały
> u_alpha = qnorm(0.975)
> u_alpha
[1] 1.959964
\(\displaystyle{ \langle 15,4 - \frac{4\cdot 1,96}{\sqrt{100}}; \ \ 15,4 + \frac{4\cdot 1,96}{\sqrt{100}}\rangle = \langle 14,6; \ \ 16, 2 \rangle}\) zł.
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 14,6}\) zł.\(\displaystyle{ 16, 2}\) zł. należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją przeciętną kwotę wszystkich zakupów na stoisku kosmetycznym, a nie tylko próby \(\displaystyle{ 100}\) - elementowej.
b)
Przedział ufności dla proporcji ( frakcji, wskaźnika struktury)
\(\displaystyle{ P \left( p* - z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}}\leq p \leq p* + z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}}\right) = 1-\alpha}\) (2)
Podstawiamy do (2)
\(\displaystyle{ n = 200, \ \ p* = \frac{28}{200}= \frac{7}{50}, \ \ 1- \alpha = 0,99, \ \ z_{\alpha} = z_{0,01} = 2,58}\) ( na podstawie tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu R).
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ P\left( \frac{7}{50} - 2,58\sqrt{\frac{7\cdot 43}{2500\cdot 200}}\leq p \leq \frac{7}{50} + 2,58 \sqrt{\frac{7\cdot 43}{2500\cdot 200}} \right) = 0,99.}\)
\(\displaystyle{ P\left( 0,115 \leq p \leq 0,165 ) = 0,99.}\)
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 11,5\%, \ \ 16,5\%}\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją prawdopodobieństwo wylosowania kwitu sprzedaży na kwotę powyżej \(\displaystyle{ 50}\) zł. z całej ich populacji, a nie tylko z próby \(\displaystyle{ 200}\) kwitów.