Średnia jako wartość oczekiwana, mediana jako kwantyl 1/2

[ziembol2011]

Witam, wiem, że piszę w banalnej sprawie, ale nie wiem jak pokazać dlaczego zachodzi:

dla pewnej obserwacji \(\displaystyle{ \left( x_{1} ,..., x_{n} \right)}\) wartość \(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\) jest wartością oczekiwaną (średnią) rozkładu empirycznego.

oraz dlaczego

mediana to kwantyl rzędu p=1/2, więc jeśli n jest liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ \overline{med}( X_{1} ,..., X_{n} ):= \overline{X}_{1/2}= X_{ \frac{n+1}{2}:n }}\) , a jeśli n-parzysta, to każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ [ X_{ \frac{n}{2}:n }, X_{ \frac{n}{2}+1:n }]}\) jest \(\displaystyle{ \overline{X}_{1/2}}\)
*podkreślenie górne w 2. zadaniu nie oznacza średniej, tylko kwantyl, jednak nie mogłem doszukać sie jak robić 'daszek'.

Wiem, że są to zadania typu udowodnij, że w zbiorze liczb rzeczywistych jest tylko jeden element odwrotny itp. ale naprawdę, patrzę na to zdanie, wiem, że jest oczywiste, ale nie potrafię pokazać dlaczego. Mam wrażenie, że przeszukałem już cały internet, ale nic nie znalazłem, wszędzie jest to przyjmowane jako równość bez pokazywania czemu tak właśnie jest.

Z góry dziękuję za pomoc.

[miodzio1988]

jest wartością oczekiwaną (średnią) rozkładu empirycznego

Podaj definicje średniej i wartości oczekiwanej.