znaleźć funkcję decyzyjną korzystając z tw. Rao-Blackwella

[aGabi94]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1,...,X_n)}\) będzie próbą z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\theta,1)}\). Rozpatrzmy przedział estymacji prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(X_i \le c), i=1,...,n}\)
dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\) z następująca funkcją straty \(\displaystyle{ \mathcal{L}(\theta,d)=[d-\phi(c-\theta)]^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) jest dystrybuantą rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\).
Niech \(\displaystyle{ d_0(x)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{(-\infty,c]}(X_i)}\).
Korzystając z twierdzenia Rao-Blackwella, wyprowadzić funkcję decyzyjną opartą na statystyce dostatecznej dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\), która jest nie gorsza niż funkcja decyzyjna \(\displaystyle{ d_0(X)}\)

[Premislav]

No to zaczynamy... Nietrudno się przekonać, że np.
\(\displaystyle{ T=\overline X=\frac 1 n \sum_{i=1}^{n}X_i}\) jest statystyką dostateczną dla parametru \(\displaystyle{ \theta.}\)
Jak brzmi tw. Rao-Blackwella?

[aGabi94]

W twierdzeniu Rao-Blackwella mamy, że jeśli zbiór decyzji \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest wypukłym podzbiorem \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowej przestrzeni , a funkcja strat \(\displaystyle{ \mathcal{L}(a,\theta)}\) jest przy każdym ustalonym \(\displaystyle{ \theta}\) wypukłą funkcją pierwszego argumentu, \(\displaystyle{ T}\) jest statystyką dostateczną, a \(\displaystyle{ d: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{A}}\) jest regułą decyzyjną, to wtedy \(\displaystyle{ d_0(T(x))=\mathbb{E}_{\theta} (d(X)|T)}\) jest regułą decyzyjną zależną tylko od \(\displaystyle{ T(x)}\) nie gorszą od \(\displaystyle{ d}\).

[Premislav]

Świetnie, to się zresztą zgadza z moimi dawnymi notatkami z wnioskowania statystycznego.
No to wypukłość funkcji straty jest widoczna (chyba nie trzeba tego dodatkowo uzasadniać, f. kwadratowa od \(\displaystyle{ d}\)), więc możesz znaleźć tę warunkową wartość oczekiwaną
\(\displaystyle{ \mathbf{E}_{\theta}\left[d_o(X) \bigg|T\right]}\), gdzie
\(\displaystyle{ T=\overline X}\) oraz \(\displaystyle{ d_0}\) jak w zadaniu. Jak będziesz mieć problem z wyliczeniem tej warunkowej wartości oczekiwanej, to pisz. [jeśli w ogóle od początku z tym był problem, to może należało to zaznaczyć w pierwszym poście...]

[aGabi94]

Właśnie nie byłam pewna czy tak należy zastosować to twierdzenie,bo dopiero zaczynam przygodę ze statystyką, więc dziękuję za odpowiedź.
A jeśli chodzi o tę warunkową wartość oczekiwaną, to czy dobrze rozumiem że:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}_\theta ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{(-\infty,c]}(X_i)|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i)}\) i potem indykator można rozpisać \(\displaystyle{ \begin{cases} 1 &\text{gdy} X_i \in (-\infty,c]\\0 &\text{w p. p. } \end{cases}}\) i czy mogę potem wyłączyć tą \(\displaystyle{ \frac{1}{n} i \sum_{i=1}^{n}}\) przed warunkową wartość oczekiwaną?

[Premislav]

Wielkie sorry, zapomniałem o tym wątku. Tak, z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \sum_{i=1}^{n}\alpha_i X_i\bigg|Y\right)= \sum_{i=1}^{n}\alpha_i\mathbf{E}(X_i|Y)}\)
(oczywiście gdy wartości oczekiwane z. losowych \(\displaystyle{ X_i}\) istnieją).
i tak, indykatory możesz tak rozpisać.

[aGabi94]

Dziękuję za pomoc w rozwiązaniu