pokazać,że statystyka jest dostateczna
-
aGabi94
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 60 razy
pokazać,że statystyka jest dostateczna
Losujemy bez zwracania \(\displaystyle{ n}\) jednostek z partii \(\displaystyle{ N}\) wyrobów, spośród których \(\displaystyle{ N\theta}\) jest wadliwych. Niech \(\displaystyle{ X_i, i = 1, ..., n,}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\), gdy \(\displaystyle{ i}\)-ta jednostka jest wadliwa i wartość \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ i}\)-ta jednostka jest dobra. Pokazać, że statystyka \(\displaystyle{ T = \sum_{i=1}^{n}X_i}\) jest dostateczna dla parametru \(\displaystyle{ \theta}\). Dostateczna, czyli że rozkład warunkowy \(\displaystyle{ P(X|T)}\) nie zależy od parametru.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
pokazać,że statystyka jest dostateczna
Model statystyczny:
\(\displaystyle{ \left( \left\{ 0,1 \right\}, \left\{ P_{\theta}(X=1) = \theta: 0\leq \theta \leq 1 \right\}\right)^{n}.}\)
Rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni prób \(\displaystyle{ \chi = \left\{0, 1 \right\}^{n}}\)
\(\displaystyle{ P_{\theta}\left(\left\{ X_{1}= x_{1},..., X_{n}= x_{n}\right\}\right) = \theta^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}(1 - \theta)^{ n- \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}}, \ \ x = (x_{1},...,x_{n})\in \left\{ 0,1 \right\}^{n}.}\)
Statystyka
\(\displaystyle{ T = \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) jest liczbą sukcesów w schemacie Bernoullego.
Rozkład statystyki jest rozkładem dwumianowym:
\(\displaystyle{ P_{\theta}( T = t) = {n\choose t} \theta ^{t}(1- \theta )^{n - t}, \ \ t=0,1,..., n.}\)
Rozkład warunkowy z próby \(\displaystyle{ \left\{ X_{1}, ..., X_{n} \right\}}\), gdy \(\displaystyle{ T=t:}\)
\(\displaystyle{ P_{\theta}\left (\left\{X_{1}= x_{1}, ..., X_{n}= x_{n}| T = t \right\right\} ) = \begin{cases}\frac{ P_{\theta}\left (\left\{X_{1}= x_{1}, ..., X_{n}= x_{n}\right\}\right)}{P_{\theta}\left( \sum_{i=1}^{n}X_{i} = t \right) } = \frac{1}{{n\choose t}}= {n \choose t}^{-1}, \ \ gdy} \ \ \sum_{i=1}^{n} x_{i} = t, \\ 0 \ \ w \ \ przeciwnym \ \ przypadku. } \ \ \end{cases}}\)
Rozkład warunkowy nie zależy od parametru \(\displaystyle{ \theta,}\) więc statystyka \(\displaystyle{ T}\) jest statystyką dostateczną.
c.b.d.o
\(\displaystyle{ \left( \left\{ 0,1 \right\}, \left\{ P_{\theta}(X=1) = \theta: 0\leq \theta \leq 1 \right\}\right)^{n}.}\)
Rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni prób \(\displaystyle{ \chi = \left\{0, 1 \right\}^{n}}\)
\(\displaystyle{ P_{\theta}\left(\left\{ X_{1}= x_{1},..., X_{n}= x_{n}\right\}\right) = \theta^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}(1 - \theta)^{ n- \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}}, \ \ x = (x_{1},...,x_{n})\in \left\{ 0,1 \right\}^{n}.}\)
Statystyka
\(\displaystyle{ T = \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) jest liczbą sukcesów w schemacie Bernoullego.
Rozkład statystyki jest rozkładem dwumianowym:
\(\displaystyle{ P_{\theta}( T = t) = {n\choose t} \theta ^{t}(1- \theta )^{n - t}, \ \ t=0,1,..., n.}\)
Rozkład warunkowy z próby \(\displaystyle{ \left\{ X_{1}, ..., X_{n} \right\}}\), gdy \(\displaystyle{ T=t:}\)
\(\displaystyle{ P_{\theta}\left (\left\{X_{1}= x_{1}, ..., X_{n}= x_{n}| T = t \right\right\} ) = \begin{cases}\frac{ P_{\theta}\left (\left\{X_{1}= x_{1}, ..., X_{n}= x_{n}\right\}\right)}{P_{\theta}\left( \sum_{i=1}^{n}X_{i} = t \right) } = \frac{1}{{n\choose t}}= {n \choose t}^{-1}, \ \ gdy} \ \ \sum_{i=1}^{n} x_{i} = t, \\ 0 \ \ w \ \ przeciwnym \ \ przypadku. } \ \ \end{cases}}\)
Rozkład warunkowy nie zależy od parametru \(\displaystyle{ \theta,}\) więc statystyka \(\displaystyle{ T}\) jest statystyką dostateczną.
c.b.d.o