\(\displaystyle{ y_{t}: (1,8), \ \ (2, 8), \ \ (3, 12), \ \ ( 4, 15), \ \ (5,20), \ \ (6,24), \ \ (7, 25),}\)
podjęto próbę wyjaśnienia jego zmienności o liniowy model trendu.
Proszę
i) przedstawić oszacowaną postać modelu i zinterpretować otrzymane wyniki,
ii) ocenić dopasowanie wyników do danych empirycznych,
iii) zweryfikować istotność zmiennej objaśniającej wyspecyfikowanej w modelu.
i)
Równanie trendu liniowego:
\(\displaystyle{ \hat{Y} = a_{0}+ a_{1}t .}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a_{0}, \ \ a_{1}}\) oceny parametrów funkcji trendu
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{\sum_{t=1}^n (y_{t} - \overline{y})(t -\overline{t})}{\sum_{t=1}^{n}(t- \overline{t})^2}.}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = \overline{y} - a_{1}\overline{t}.}\)
\(\displaystyle{ \overline{t} =\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}= 4.}\)
\(\displaystyle{ \overline{y} =\frac{8+8+12+15+20++24+25}{7}= 16.}\)
Obliczenie współczynników \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> t = c(1,2,3,4,5,6,7)
> yt = c(8, 8, 12,15,20,24,25)
> tsr = mean(t)
> tsr
[1] 4
> ytsr = mean(yt)
> ytsr
[1] 16
> a1 = ((8-16)*(1-4)+(8-16)*(2-4)+(12 -16)*(3-4)+(15 -16)*(4-4)+(20-16)*(5-4)+(24-16)*(6-4)+(25-16)*(7-4))/((1-4)^2+(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2+(7-4)^2)
> a1
[1] 3.25
> a0 = ytsr - a1*tsr
> a0
[1] 3
\(\displaystyle{ \hat{Y} = 3 +3,25 t.}\)
Poziom zjawiska \(\displaystyle{ Y}\) w okresie zerowym wynosi \(\displaystyle{ 3.}\)
Przeciętny jednostkowy przyrost zjawiska \(\displaystyle{ Y}\) w przedziale czasu \(\displaystyle{ [1, 7]}\) wynosi \(\displaystyle{ 3,25 .}\)
ii)
Ocena dopasowania wyników do danych empirycznych
Współczynnik determinacji
\(\displaystyle{ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_{i}- \overline{y})^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^2}.}\)
Kod: Zaznacz cały
y1 = 3.25*1 +3
> y1
[1] 6.25
> y2 = 3.25*2 +3
> y2
[1] 9.5
> y3 = 3.25*3 +3
> y3
[1] 12.75
> y4 =3.25*4 +3
> y4
[1] 16
> y5 = 3.25*5 +3
> y5
[1] 19.25
> y6 =3.25*6+3
> y6
[1] 22.5
> y7=3.25*7+3
> y7
[1] 25.75
> Rkwadrat=((y1 -ytsr)^2+(y2 -ytsr)^2+(y3-ytsr)^2+(y4 -ytsr)^2+(y5 -ytsr)^2+(y6-ytsr)^2+(y7 -ytsr)^2)/((8-16)^2+(8-16)^2 +(12-16)^2+(15-16)^2+(20-16)^2+(24-16)^2+(25-16)^2)
> Rkwadrat
[1] 0.9665033
iii)
Weryfikacja istotności zmiennej objaśniającej - test Fischera-Snedecora.
Hipotezy:
\(\displaystyle{ H_{0}: a_{1} =0,}\)
\(\displaystyle{ H_{1}: a_{1}\neq 0.}\)
Statystyka:
\(\displaystyle{ F = \frac{(n-m-1)\cdot R^2}{m\cdot (1 -R^2)}.}\)
Wartość statystyki:
Kod: Zaznacz cały
F=(7-1-1)*Rkwadrat/(1-Rkwadrat)
> F
[1] 144.2683
Kod: Zaznacz cały
> Fk = qf(0.90,7,1)
> Fk
[1] 58.90595
Są podstawy do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}}\) i przyjęcia hipotezy \(\displaystyle{ H_{1}.}\)
Rozpatrywany zestaw zmiennych objaśniających ma wpływ na zmienną objaśnianą.
Potwierdzenie poprawności rozwiązania w programie R
Kod: Zaznacz cały
> t<-c(1,2,3,4,5,6,7)
> y<-c(8,8,12,15,20,24,25)
> model = lm(y~t)
> summary(model)
Call:
lm(formula = y ~ t)
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7
1.75 -1.50 -0.75 -1.00 0.75 1.50 -0.75
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.0000 1.2101 2.479 0.0559 .
t 3.2500 0.2706 12.011 7.06e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.432 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9665, Adjusted R-squared: 0.9598
F-statistic: 144.3 on 1 and 5 DF, p-value: 7.058e-05
