Witam, mam na podstawie próbki oszacować parametry rozkładu gamma metodą momentów, dane:
\(\displaystyle{ X_1=1; X_2=1,03; X_4= 1,04; X_5=1,02; X_6=1,11; X_7=0,92;
\newline X_8=1,01; X_9=0,98; X_{10}=0,95}\)
Proszę o pomoc, jak się za to zabrać?
Dane z obserwacji- szacowanie parametrów rozkładu gamma
-
squared
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Dane z obserwacji- szacowanie parametrów rozkładu gamma
Rozkład Gamma ma następującą funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\theta ^{k}x^{{k-1}}{\frac {\exp {\left(-x\theta \right)}}{\Gamma (k)}}\!}\),
czyli dwa parametry.
Metoda momentów poleca na rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ M_{n} (\vec{x})=\mathbb{E}g_n(\xi)}\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ M_n}\) - \(\displaystyle{ n-ty}\) moment centralny z próby.
\(\displaystyle{ g_n (\xi) = \xi^n}\)
No u Nas \(\displaystyle{ \xi}\) ma rozkład Gamma. Metoda momentów to cała grupa metod i technik, gdyż można brać dowolne \(\displaystyle{ n}\). Weźmy przykładowo \(\displaystyle{ n=1}\) i oszacujmy \(\displaystyle{ \theta}\).
\(\displaystyle{ M_{1} (\vec{x})=\mathbb{E}g_1(\xi)=\mathbb{E}(\xi)= \frac {k}{\theta } \\
x(n) = \frac{k}{\theta} \\
\theta = \frac{k}{x(n)}}\).
Średnią z próby, to łatwo wyznaczyć sobie, wiadomo jak to robimy. Przyjmując inne \(\displaystyle{ n}\) otrzymasz inny estymator.
Natomiast metoda w analogiczny sposób się rozszerza na dwa parametry - po prostu trzeba napisać dwa równania np.
\(\displaystyle{ M_{1} (\vec{x})=\mathbb{E}g_1(\xi)=\mathbb{E}\xi \\
M_{2} (\vec{x})=\mathbb{E}g_2(\xi)=\mathbb{E}\xi ^2}\).
Cała ewentualna trudność teraz sprowadza się do \(\displaystyle{ \mathbb{E}\xi ^2}\). Potem otrzymasz układ równań z dwoma niewiadomymi (nasze parametry). Rozwiązujesz i już masz estymatory.
\(\displaystyle{ f(x)=\theta ^{k}x^{{k-1}}{\frac {\exp {\left(-x\theta \right)}}{\Gamma (k)}}\!}\),
czyli dwa parametry.
Metoda momentów poleca na rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ M_{n} (\vec{x})=\mathbb{E}g_n(\xi)}\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ M_n}\) - \(\displaystyle{ n-ty}\) moment centralny z próby.
\(\displaystyle{ g_n (\xi) = \xi^n}\)
No u Nas \(\displaystyle{ \xi}\) ma rozkład Gamma. Metoda momentów to cała grupa metod i technik, gdyż można brać dowolne \(\displaystyle{ n}\). Weźmy przykładowo \(\displaystyle{ n=1}\) i oszacujmy \(\displaystyle{ \theta}\).
\(\displaystyle{ M_{1} (\vec{x})=\mathbb{E}g_1(\xi)=\mathbb{E}(\xi)= \frac {k}{\theta } \\
x(n) = \frac{k}{\theta} \\
\theta = \frac{k}{x(n)}}\).
Średnią z próby, to łatwo wyznaczyć sobie, wiadomo jak to robimy. Przyjmując inne \(\displaystyle{ n}\) otrzymasz inny estymator.
Natomiast metoda w analogiczny sposób się rozszerza na dwa parametry - po prostu trzeba napisać dwa równania np.
\(\displaystyle{ M_{1} (\vec{x})=\mathbb{E}g_1(\xi)=\mathbb{E}\xi \\
M_{2} (\vec{x})=\mathbb{E}g_2(\xi)=\mathbb{E}\xi ^2}\).
Cała ewentualna trudność teraz sprowadza się do \(\displaystyle{ \mathbb{E}\xi ^2}\). Potem otrzymasz układ równań z dwoma niewiadomymi (nasze parametry). Rozwiązujesz i już masz estymatory.