Test statystyczny dla wartości oczekiwanej

[mak85]

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie średnim wzrostem mieszkańców wyspy Alfa oraz niech \(\displaystyle{ b}\) będzie średnim wzrostem mieszkańców wyspy Beta. Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., X_{N}}\) oznaczają wzrost \(\displaystyle{ N}\) osób wylosowanych spośród mieszkańców wyspy Alfa, a \(\displaystyle{ Y_{1},Y_{2}, ..., Y_{M}}\) wzrost \(\displaystyle{ M}\) osób wylosowanych spośród mieszkańców wyspy Beta. Zakładamy, że \(\displaystyle{ M, N \ge 100}\). Wtedy

\(\displaystyle{ P\biggl( \frac{ \left( \overline{ X_{N} } - \overline{ Y_{M} \right) - \left( a - b \right) } }
{
\sqrt{
\frac{ S_{N} \left( X \right)^{2}}{N} + \frac{ S_{M} \left( Y \right)^{2}}{M}} } \le t \biggr) \approx \phi \left( t\right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego, \(\displaystyle{ \overline{ X_{N} }}\) i \(\displaystyle{ \overline{ Y_{M} }}\) są średnimi z prób, a \(\displaystyle{ S_{N} \left( X \right)^{2}}\) i \(\displaystyle{ S_{M} \left( Y \right)^{2}}\) są wariancjami z prób.

Dla 100 elementowej próbki z wyspy Alfa średnia wyniosła 165 i wariancja wyniosła 100, a dla 200-elementowej próbki z wyspy Beta średnia wyniosła 169 i wariancja wyniosła 64.

Muszę zweryfikować na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,02}\) hipotezę \(\displaystyle{ a = b}\) wobec hipitezy \(\displaystyle{ a \neq b}\)

Jak się do tego zabrać?

[SlotaWoj]

Kwestia zapisu.

... a \(\displaystyle{ S_N\left(X\right)^2}\) i \(\displaystyle{ S_M\left(Y\right)^2}\) są wariancjami z prób.

Wydaje mi się, że właściwszy jest zapis \(\displaystyle{ S_N^{\;2}(X)}\), etc. Wszak odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

[mak85]

Być może, napisałem tak jak było w zadaniu.