Zbadaj zbieżność prawie wszędzie

[InYourHead]

Mam następujące zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0, \pi)}\). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie, gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), ciągu:

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_{i}}{ \sum_{i=1}^{n} \sin(X_{i})},n \ge 1}\)

Policzyłem ze wzoru, że \(\displaystyle{ EX= \frac{\pi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ VarX= \frac{\pi^2}{12}}\), ale nie wiem w jaki sposób mogę policzyć \(\displaystyle{ E(\sin(X_{i}))}\)... Jakieś sugestie? Wskazówki?

[leg14]

\(\displaystyle{ Ef(X) = \int_{\RR}^{} f(x) \cdot g(x) dx}\) gdzie g to gestosc X

[InYourHead]

\(\displaystyle{ E(\sin(X_{i}))= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = ... = \frac{2}{\pi}}\)

Stąd zbieżność prawie wszędzie podanego ciągu to \(\displaystyle{ \frac{ \frac{\pi}{2} }{ \frac{2}{\pi} } = \frac{\pi^2}{4}}\) ?

Jeszcze jedno, czy zapis z indeksem \(\displaystyle{ i}\) powinien mieć miejsce, czy powinienem zapisać po prostu \(\displaystyle{ E(\sin(X))=...?}\)

EDIT: Odpowiedziałem sobie na pytanie, powinno być bez indeksu, bo w końcu szukam zbieżności całego ciągu.

[leg14]

Jeszcze jedno, czy zapis z indeksem i powinien mieć miejsce, czy powinienem zapisać po prostu

EDIT: Odpowiedziałem sobie na pytanie, powinno być bez indeksu, bo w końcu szukam zbieżności całego ciągu.

Nie.To nie ma zanczenia. \(\displaystyle{ X_i}\) maja ten sam rozklad. Jak juz probujesz tak scisle wszystko pisac, to \(\displaystyle{ E(\sin(X))}\) jest nawet niepoprawnie, bo nigdzie nie zdefiniowales zmiennej losowej X.(oczywiscie w praktyce niezaleznych zmiennych o tym samym rozkladzie sie zazwyczaj nie rozroznia ,ale pisze o tym, by Ci pokazac, ze Twoje pytanie nie ma sensu.)