Rozpatrywałem przykład z jednej z książek do statystyki.
\(\displaystyle{ X}\)-to cecha z populacji generalnej
\(\displaystyle{ X-U([a;a+1])}\)
\(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},... X_{n}}\) -próba prosta z tejże populacji.
Wykazać, że
\(\displaystyle{ T_{n}=maxX_{i}-\frac{n}{n+1}}\)
jest estymatorem nieobciążonym i zgodnym parametru \(\displaystyle{ a}\).
Ze zrozumieniem tego, dlaczego jest nieobciążony nie miałem problemu. Problem pojawił się ze zgodnością. Otóż autor pokazał, że \(\displaystyle{ D^2T_n \rightarrow 0}\), gdy n dąży do nieskończoności i stąd wnioskował zgodność estymatora. I tu pojawia się problem, bo nie wiem, jak to, że wariancja zbiega do zera ma się do tego, że \(\displaystyle{ \forall \epsilon > 0 \lim_{n \to \infty} P(|T_{n}-a|< \epsilon)=1}\)
Zgodność estymatora.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Zgodność estymatora.
Nie jest to bardzo trudne. Wystarczy znać nierówność Czebyszewa-Bienayme.
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).
Warunek \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}(|T_{n}-a|< \epsilon)=1}\)
możemy równoważnie zapisać jako
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}(|T_{n}-a|\ge \epsilon)=0}\)
skoro sprawdziłeś nieobciążoność, to znaczy, że wiesz, iż
\(\displaystyle{ \mathbf{E}T_n=a}\).
zatem z nierówności Czebyszewa-Bienayme dostajemy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( |T_n-a|\ge \epsilon\right) =\mathbf{P}\left( |T_n-\mathbf{E}T_n|\ge \epsilon\right) \le \frac{\mathbf{D^2}T_n}{\epsilon^2}}\)
i przechodzimy do granicy, korzystając z
\(\displaystyle{ \mathbf{D^2}T_n \rightarrow 0}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).
Warunek \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}(|T_{n}-a|< \epsilon)=1}\)
możemy równoważnie zapisać jako
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbf{P}(|T_{n}-a|\ge \epsilon)=0}\)
skoro sprawdziłeś nieobciążoność, to znaczy, że wiesz, iż
\(\displaystyle{ \mathbf{E}T_n=a}\).
zatem z nierówności Czebyszewa-Bienayme dostajemy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( |T_n-a|\ge \epsilon\right) =\mathbf{P}\left( |T_n-\mathbf{E}T_n|\ge \epsilon\right) \le \frac{\mathbf{D^2}T_n}{\epsilon^2}}\)
i przechodzimy do granicy, korzystając z
\(\displaystyle{ \mathbf{D^2}T_n \rightarrow 0}\)