1.Niech zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na przedziale {0,3}
Obliczyc wartość oczekiwaną EY, gdzie Y=max(X, \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\))
2.Zbadać zbieżność wg dystrybuant ciagu zmiennych losowych (\(\displaystyle{ X_{n}}\)) takich, że
\(\displaystyle{ X_{n} = \begin{cases} \frac{1}{n}, gdy \cdot n \cdot jest \cdot nieparzyste\\ 0, gdy \cdot n \cdot jest \cdot parzyste\end{cases}}\)
Proszę o pomoc w zadaniu 1 i 2 oraz o instrukcję w rozwiązaniu. Z góry dziękuję za pomoc
wartość oczekiwana oraz zbieżność według dystrybuant
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
wartość oczekiwana oraz zbieżność według dystrybuant
1. Zacznijmy od dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ Y}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y\le y)=\mathbf{P}\left( X\le y, \frac 1 4 \le y\right)=\mathbf{P}(X \le y)\cdot \mathbf{P}\left( \frac 1 4 \le y\right)}\),
bo aby coś było większe od maksimum, musi być większe od każdego argumentu funkcji maksimum, a ponadto zmienna losowa stale równa \(\displaystyle{ \frac 1 4}\) jest stochastycznie niezależna od dowolnej zmiennej losowej, więc prawdopodobieństwo przekroju można zamienić na iloczyn prawdopodobieństw.
Przecz jasna, \(\displaystyle{ mathbf{P}left(frac 1 4le y
ight)= egin{cases} 0 ext{ dla }y<frac 1 4 \ 1 ext{ dla }yge frac 1 4end{cases}=mathbf{1}_{left[frac 1 4,+infty
ight)}(y)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ mathbf{P}(X le y)= egin{cases}0 ext{ dla }yle 0 \ frac{y}{3}
ext{ dla } y in (0,3) \ 1 ext{ dla }yge 3 end{cases}=frac y 3 mathbf{1}_{(0,3)}(y)+mathbf_{1}_{[3,+infty)}(y)}\)
- korzystam tutaj z funkcji gęstości rozkładu jednostajnego.
Podsumowując, mamy
\(\displaystyle{ mathbf{P}(Y le y)= egin{cases} 0 ext{ dla } y<frac 1 4 \ frac y 3 ext{ dla } yin left[frac 1 4,3)\ 1 ext{ dla } yge 3 end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Y}\) ma więc rozkład mieszany.Dalej proponuję skorzystać ze znanego wzoru: jeżeli \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną losową nieujemną oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}|Y|<\infty}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{E}Y= \int_{0}^{+\infty} \mathbf{P}(Y\ge y)\,\dd y}\)
2. Na pewno tak miało być? [trochę to proste] Wtedy dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) masz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n \le x)=\mathbf{1}_{(-\infty, 0]}(x)}\), a dla nieparzystych
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n \le x)=\mathbf{1}_{\left(-\infty, \frac 1 n\right]}(x)}\)
Zbadaj granice punktowe. Wsk. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac 1 n=}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y\le y)=\mathbf{P}\left( X\le y, \frac 1 4 \le y\right)=\mathbf{P}(X \le y)\cdot \mathbf{P}\left( \frac 1 4 \le y\right)}\),
bo aby coś było większe od maksimum, musi być większe od każdego argumentu funkcji maksimum, a ponadto zmienna losowa stale równa \(\displaystyle{ \frac 1 4}\) jest stochastycznie niezależna od dowolnej zmiennej losowej, więc prawdopodobieństwo przekroju można zamienić na iloczyn prawdopodobieństw.
Przecz jasna, \(\displaystyle{ mathbf{P}left(frac 1 4le y
ight)= egin{cases} 0 ext{ dla }y<frac 1 4 \ 1 ext{ dla }yge frac 1 4end{cases}=mathbf{1}_{left[frac 1 4,+infty
ight)}(y)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ mathbf{P}(X le y)= egin{cases}0 ext{ dla }yle 0 \ frac{y}{3}
ext{ dla } y in (0,3) \ 1 ext{ dla }yge 3 end{cases}=frac y 3 mathbf{1}_{(0,3)}(y)+mathbf_{1}_{[3,+infty)}(y)}\)
- korzystam tutaj z funkcji gęstości rozkładu jednostajnego.
Podsumowując, mamy
\(\displaystyle{ mathbf{P}(Y le y)= egin{cases} 0 ext{ dla } y<frac 1 4 \ frac y 3 ext{ dla } yin left[frac 1 4,3)\ 1 ext{ dla } yge 3 end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Y}\) ma więc rozkład mieszany.Dalej proponuję skorzystać ze znanego wzoru: jeżeli \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną losową nieujemną oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}|Y|<\infty}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{E}Y= \int_{0}^{+\infty} \mathbf{P}(Y\ge y)\,\dd y}\)
2. Na pewno tak miało być? [trochę to proste] Wtedy dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) masz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n \le x)=\mathbf{1}_{(-\infty, 0]}(x)}\), a dla nieparzystych
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n \le x)=\mathbf{1}_{\left(-\infty, \frac 1 n\right]}(x)}\)
Zbadaj granice punktowe. Wsk. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac 1 n=}\)