Zmienna losowa rozkład beta

[Ist94]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_{1},...X_{n})}\) będzie próbą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F. Wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ F(X_{(k)})}\) ma rozkład beta B(k, n-k+1).

Proszę o jakieś wskazówki

[Premislav]

Wygląda całkiem ciekawie, więc chętnie coś spróbuję podziałać, jeśli tylko napiszesz, co to znaczy
\(\displaystyle{ X_{(k)}}\). Nie pamiętam niestety takiego oznaczenia. Czy może chodzi o k-tą statystykę porządkową?

-- 18 sty 2017, o 21:40 --

Dobra, uznam, że \(\displaystyle{ X_{(k)}}\) to k-ta statystyka pozycyjna, bo nie chce mi się czekać na odpowiedź, a chcę się jeszcze pouczyć i obejrzeć ostatni odcinek House'a (jakoś kilka lat temu nie obejrzałem ósmego sezonu, bo siódmy był kiepski) i nie widzę żadnej innej sensownej interpretacji.

Przyda się taki wzór: mamy zmienne niezależne \(\displaystyle{ X_1,\dots X_n}\) o tym samym rozkładzie z ciągłą dystrybuantą. Wówczas funkcja gęstości k-tej statystyki pozycyjnej ma postać
\(\displaystyle{ g_k(x_k)= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_k)]^{k-1}[1-F(x_k)]^{n-k}f(x_k)}\)
dla \(\displaystyle{ x_k}\) należących do nośnika wspólnego rozkładu zmiennych losowych\(\displaystyle{ X_1,\dots X_n}\) (no to powinno być akurat jasne, poza tym kładziemy po prostu zero).
Znalazłem to w zeszycie do statystyki sprzed roku, nie chce mi się tego wyprowadzać, ale po prostu całkuje się gęstość rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X_1,\dots X_n)}\) po wszelkich pozostałych zmiennych prócz \(\displaystyle{ x_k}\) w odpowiednich granicach, przyda się tam jakaś indukcja formalnie rzecz biorąc.

To teraz przechodzimy do zadania:
zaatakujemy to od strony dystrybuanty. Niech \(\displaystyle{ t \in \RR}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( F(X_{(k)}) \le t\right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0 \\ \mathbf{P}\left( X_{(k)}\le F^{-1}(t)\right) \text{ dla } t \in (0,1]\\ 1 \text{ dla } t>1\end{cases}}\)

Istotnie korzystamy tu z tego, że \(\displaystyle{ F}\) jest ciągła. No to liczymy to prawdopodobieństwo ze środka:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_{(k)}\le F^{-1}(t)\right)= \int_{-\infty}^{F^{-1}(t)} g_k(x_k) \,\dd x_k=\\= \int_{-\infty}^{F^{-1}(t)} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_k)]^{k-1}[1-F(x_k)]^{n-k}f(x_k) \,\dd x_k}\)
W tej ostatniej całce podstawiamy \(\displaystyle{ u=F(x_k), \dd u=f(x_k)\,\dd x_k}\)
i po zmianie granic całkowania mamy ostatecznie dla \(\displaystyle{ t \in (0,1]}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{(k)}\le t)= \int_{0}^{t} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} u^{k-1}(1-u)^{n-k} \,\dd u}\)
i już po zadaniu praktycznie. Aha, chyba kojarzysz, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1)}\)? Tak na wszelki wypadek przypomniałem.

[Ist94]

Wygląda całkiem ciekawie, więc chętnie coś spróbuję podziałać, jeśli tylko napiszesz, co to znaczy
\(\displaystyle{ X_{(k)}}\). Nie pamiętam niestety takiego oznaczenia. Czy może chodzi o k-tą statystykę porządkową?

-- 18 sty 2017, o 21:40 --

Dobra, uznam, że \(\displaystyle{ X_{(k)}}\) to k-ta statystyka pozycyjna, bo nie chce mi się czekać na odpowiedź, a chcę się jeszcze pouczyć i obejrzeć ostatni odcinek House'a (jakoś kilka lat temu nie obejrzałem ósmego sezonu, bo siódmy był kiepski) i nie widzę żadnej innej sensownej interpretacji.

Przyda się taki wzór: mamy zmienne niezależne \(\displaystyle{ X_1,\dots X_n}\) o tym samym rozkładzie z ciągłą dystrybuantą. Wówczas funkcja gęstości k-tej statystyki pozycyjnej ma postać
\(\displaystyle{ g_k(x_k)= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_k)]^{k-1}[1-F(x_k)]^{n-k}f(x_k)}\)
dla \(\displaystyle{ x_k}\) należących do nośnika wspólnego rozkładu zmiennych losowych\(\displaystyle{ X_1,\dots X_n}\) (no to powinno być akurat jasne, poza tym kładziemy po prostu zero).
Znalazłem to w zeszycie do statystyki sprzed roku, nie chce mi się tego wyprowadzać, ale po prostu całkuje się gęstość rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X_1,\dots X_n)}\) po wszelkich pozostałych zmiennych prócz \(\displaystyle{ x_k}\) w odpowiednich granicach, przyda się tam jakaś indukcja formalnie rzecz biorąc.

To teraz przechodzimy do zadania:
zaatakujemy to od strony dystrybuanty. Niech \(\displaystyle{ t \in \RR}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( F(X_{(k)}) \le t\right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0 \\ \mathbf{P}\left( X_{(k)}\le F^{-1}(t)\right) \text{ dla } t \in (0,1]\\ 1 \text{ dla } t>1\end{cases}}\)

Istotnie korzystamy tu z tego, że \(\displaystyle{ F}\) jest ciągła. No to liczymy to prawdopodobieństwo ze środka:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_{(k)}\le F^{-1}(t)\right)= \int_{-\infty}^{F^{-1}(t)} g_k(x_k) \,\dd x_k=\\= \int_{-\infty}^{F^{-1}(t)} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_k)]^{k-1}[1-F(x_k)]^{n-k}f(x_k) \,\dd x_k}\)
W tej ostatniej całce podstawiamy \(\displaystyle{ u=F(x_k), \dd u=f(x_k)\,\dd x_k}\)
i po zmianie granic całkowania mamy ostatecznie dla \(\displaystyle{ t \in (0,1]}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{(k)}\le t)= \int_{0}^{t} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} u^{k-1}(1-u)^{n-k} \,\dd u}\)
i już po zadaniu praktycznie. Aha, chyba kojarzysz, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1)}\)? Tak na wszelki wypadek przypomniałem.

Dzięki wielkie! Zgadza się wszystko Brakowało mi tej funkcji gęstości k-tej statystyki pozycyjnej, dalej nie mogłam ruszyć ;c Także jeszcze raz bardzooo, ale to bardzo dziękuję