Czym jest estymator?
Czym jest estymator?
Ze statystyki jestem kompletnie zielony - nie miałem takiego przedmiotu na studiach. Z tego co widzę tutaj (chociaż chyba nie wszystko jest tam dobrze opisane) to estymator przyjmuje za argument ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n}\) i zwraca zmienną losową, czy tak? Np. estymator wartości oczekiwanej przyjmuje za argument ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ X=(X_1, \ldots, X_n )}\) na tej samej przestrzeni probabilistycznej o takim samym rozkładzie i zwraca zmienną losową
\(\displaystyle{ T(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,}\)
czy mam rację? Jeżeli tak, to dlaczego estymatory zapisuje się bardzo często (np. tu jak by to były liczby, a nie funkcje? ;>
\(\displaystyle{ T(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,}\)
czy mam rację? Jeżeli tak, to dlaczego estymatory zapisuje się bardzo często (np. tu jak by to były liczby, a nie funkcje? ;>
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Czym jest estymator?
Estymator to pewna funkcja \(\displaystyle{ n}\)-argumentowa, gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczność tzw. próby losowej, czyli próbki.
Estymator dla konkretnej próby losowej zwraca nam konkretną liczbę, którą traktujemy jako wartość nieznanego parametru rozkładu zmiennej losowej.
Przykład: Masa czekolady produkowanej w fabryce. Załóżmy, że wiemy z jakim rozkładem masa jest np. normalnym, ale nie znamy parametrów tego rozkładu. Przybliżamy je sobie pewnymi estymatorami. Wartość estymatorów obliczami z pewnej próby losowej, czyli np. bierzemy sobie 30 czekolad i ważymy je.
Estymator dla konkretnej próby losowej zwraca nam konkretną liczbę, którą traktujemy jako wartość nieznanego parametru rozkładu zmiennej losowej.
Przykład: Masa czekolady produkowanej w fabryce. Załóżmy, że wiemy z jakim rozkładem masa jest np. normalnym, ale nie znamy parametrów tego rozkładu. Przybliżamy je sobie pewnymi estymatorami. Wartość estymatorów obliczami z pewnej próby losowej, czyli np. bierzemy sobie 30 czekolad i ważymy je.
Czym jest estymator?
Ale np. tutaj 78307.htm Regis próbą nazywa ciąg zmiennych losowych, czyli po "wstawieniu" jej do estymatora powinna wyjść też zmienna losowa, a nie liczba ;>
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czym jest estymator?
Zwykle rozważamy zestawienie zmiennych losowych \(\displaystyle{ [X_1,...,X_N]}\).
Próba losowa to konkretna realizacja tego zestawienia czyli \(\displaystyle{ [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\), dla pewnego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\). Jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\) do estymatora to dostajesz konkretną liczbę, jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1,...,X_N]}\) to dostajesz zmienną losową. squared Ci dobrze napisał.
Próba losowa to konkretna realizacja tego zestawienia czyli \(\displaystyle{ [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\), dla pewnego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\). Jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\) do estymatora to dostajesz konkretną liczbę, jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1,...,X_N]}\) to dostajesz zmienną losową. squared Ci dobrze napisał.
Czym jest estymator?
Tak mi się wydawało, ale nie mogłem znaleźć w internecie potwierdzenia. Dziwna rzecz: w ogóle w internecie znajduję same bzdury na temat statystyki ;> Czy statystycy rzadko korzystają z internetu? ;>kp1311 pisze:Jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\) do estymatora to dostajesz konkretną liczbę, jak wstawisz \(\displaystyle{ [X_1,...,X_N]}\) to dostajesz zmienną losową. squared Ci dobrze napisał.
A czym byłyby zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2,\ldots, X_n}\) i czym byłoby zdarzenie elementarne \(\displaystyle{ \omega}\) w przykładzie z czekoladą, który podał squared? ;>
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Czym jest estymator?
Jeśli by się doszukiwać koniecznie przyczyny to leży ona w fakcie, że większość osób kojarzy statystykę ze statystyką opisową - to raz. Dwa wiele stron jest napisanych w sposób nie w pełni precyzyjny matematycznie, gdyż np. strony są dedykowane osobom, które uczą się statystyki matematycznej na studiach np. ekonomicznych (gdzie aparat matematyczny jest znacznie mniejszy).PLrc pisze:Dziwna rzecz: w ogóle w internecie znajduję same bzdury na temat statystyki ;> Czy statystycy rzadko korzystają z internetu? ;>
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czym jest estymator?
PLrc
Gdybyś losował jedną czekoladkę:
Zdarzenie \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) odpowiada wylosowaniu konkretnej czekoladki, \(\displaystyle{ X_1(\omega)}\) to jej masa.
Jak będzie w przypadku \(\displaystyle{ \[X_1,...,X_n\]}\)?
Odnośnie materiałów:
-jeśli Ci się śpieszy: 7 wykładów wprowadzających do statystyki Zielińskiego (132 strony) (dostępne w internecie)
-jeśli Ci się nie śpieszy ,,Statistical Inference" - Casella,Berger (686 stron).
Gdybyś losował jedną czekoladkę:
Zdarzenie \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) odpowiada wylosowaniu konkretnej czekoladki, \(\displaystyle{ X_1(\omega)}\) to jej masa.
Jak będzie w przypadku \(\displaystyle{ \[X_1,...,X_n\]}\)?
Odnośnie materiałów:
-jeśli Ci się śpieszy: 7 wykładów wprowadzających do statystyki Zielińskiego (132 strony) (dostępne w internecie)
-jeśli Ci się nie śpieszy ,,Statistical Inference" - Casella,Berger (686 stron).
Czym jest estymator?
Wtedy \(\displaystyle{ \omega=(\omega_1, \ldots, \omega_n)}\) będzie ciągiem odpowiadającym wylosowaniu konkretnych \(\displaystyle{ n}\)-czekolad? \(\displaystyle{ X_1(\omega)}\) będzie masą pierwszej czekolady, \(\displaystyle{ X_2(\omega)}\) będzie masą drugiej czekolady itd. Na wyrazach tego ciągu \(\displaystyle{ \omega}\) mogłyby stać wylosowane czekolady, tylko że wtedy \(\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n}\) miałyby oczywiście rozkład dyskretny. Jak moglibyśmy zdefiniować przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega,}\) żeby \(\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n}\) mogły mieć rozkład ciągły, np. rozkład Gaussa? ;>kp1311 pisze:PLrc
Gdybyś losował jedną czekoladkę:
Zdarzenie \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) odpowiada wylosowaniu konkretnej czekoladki, \(\displaystyle{ X_1(\omega)}\) to jej masa.
Jak będzie w przypadku \(\displaystyle{ \[X_1,...,X_n\]}\)?
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czym jest estymator?
Wyobraźmy sobie że podczas produkcji kolejne czekoladki otrzymują masy zgodnie z pewnym rozkładem normalnym. Powiedzmy że wyprodukowaliśmy milion czekoladek. Kiedy wyciągasz czekoladkę z tego miliona, losujesz z rozkładu dyskretnego, gdybyś jednak uruchomił fabrykę i wyprodukował sobie nową czekoladkę losowałbyś z ciągłego Czemu nie patrzeć na branie jednej czekoladki z miliona tak samo jak na produkowanie nowej czekoladki?
Czym jest estymator?
Nie odpowiedziałeś mi, czy skonstruowałem dobry model matematyczny pomiaru masy czekoladek ;]
Intuicyjnie jest dla mnie jasne, że jeżeli mamy tych czekoladek bardzo dużo, np. milion, to wtedy rozkład prawdopodobieństwa bardzo przypomina rozkład ciągły.kp1311 pisze:Czemu nie patrzeć na branie jednej czekoladki z miliona tak samo jak na produkowanie nowej czekoladki?
I jak w takiej sytuacji zdefiniować przestrzeń zdarzeń elementarnych, żeby zmienne losowe mogły mieć rozkład ciągły? ;> Jako \(\displaystyle{ \Omega:=\mathbb{R}^n}\) po prostu? ;> Czyli, że losuję ciąg mas czekoladek \(\displaystyle{ \omega=(\omega_1, \ldots, \omega_n)}\) i wtedy \(\displaystyle{ X_1(\omega)=X_1(\omega_1, \ldots, \omega_n):=\omega_1}\) jest masą pierwszej wyprodukowanej czekoladki, \(\displaystyle{ X_2(\omega)=X_2(\omega_1, \ldots, \omega_n):=\omega_2}\) jest masą drugiej wyprodukowanej czekoladki itd? ;>kp1311 pisze:Kiedy wyciągasz czekoladkę z tego miliona, losujesz z rozkładu dyskretnego, gdybyś jednak uruchomił fabrykę i wyprodukował sobie nową czekoladkę losowałbyś z ciągłego
A czy jest jakiś taki nowoczesny podręcznik do statystyki w stylu Jakubowskiego, Sztencla od rachunku prawdopodobieństwa? ;>kp1311 pisze:Odnośnie materiałów:
-jeśli Ci się śpieszy: 7 wykładów wprowadzających do statystyki Zielińskiego (132 strony) (dostępne w internecie)
-jeśli Ci się nie śpieszy ,,Statistical Inference" - Casella,Berger (686 stron).
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czym jest estymator?
AD1. To co napisałeś jest zgodne z tym co napisałem odnośnie jednej czekoladki. Jednakże to o czym pisaliśmy później czyli losowanie masy czekoladki zamiast samej czekoladki jest lepsze (skupiamy się na mechanizmie tworzenia obserwacji).
AD2. Tak \(\displaystyle{ \Omega = R^N}\) przy losowaniu \(\displaystyle{ N}\) czekoladek jest dobre.
AD3. Tu nie wiem, miałem styczność tylko z pozycjami które wymieniłem + materiały z wiki. Z tych dwóch ze ,,Statistical Inference" pracuje mi się przyjemniej. Pierwsze wydanie tej książki pochodzi z 1990 roku, więc podręcznik przynajmniej jest nowy, może nawet jest nowoczesny. Są objaśnienia, są przykłady, jest dużo zadań, książka startuje od rachunku prawdopodobieństwa. Daj jej szanse
AD2. Tak \(\displaystyle{ \Omega = R^N}\) przy losowaniu \(\displaystyle{ N}\) czekoladek jest dobre.
AD3. Tu nie wiem, miałem styczność tylko z pozycjami które wymieniłem + materiały z wiki. Z tych dwóch ze ,,Statistical Inference" pracuje mi się przyjemniej. Pierwsze wydanie tej książki pochodzi z 1990 roku, więc podręcznik przynajmniej jest nowy, może nawet jest nowoczesny. Są objaśnienia, są przykłady, jest dużo zadań, książka startuje od rachunku prawdopodobieństwa. Daj jej szanse
-
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Środkowa Polska
- Podziękował: 118 razy
Czym jest estymator?
kp1311, a ja szczerze mówiąc nadal nie bardzo rozumiem o co chodzi. Powiedzmy że mamy \(\displaystyle{ N}\) czekolad i \(\displaystyle{ X = [X_1,...,X_N]}\) to zmienne losowe opisujące wagę każdej czekolady. Czym w takim razie jest zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) ?
I jak może być w takim razie np: \(\displaystyle{ X(\omega) = [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\) skoro jeśli by było \(\displaystyle{ X_1 = X_2 = ... = X_N}\) to \(\displaystyle{ X(\omega)}\) byłby wektorem takich samych wartości ?
I jak może być w takim razie np: \(\displaystyle{ X(\omega) = [X_1(\omega),...,X_N(\omega)]}\) skoro jeśli by było \(\displaystyle{ X_1 = X_2 = ... = X_N}\) to \(\displaystyle{ X(\omega)}\) byłby wektorem takich samych wartości ?
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czym jest estymator?
Jeśli \(\displaystyle{ X_1}\) to funkcja z \(\displaystyle{ \Omega}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ [X_1,...,X_N]}\) jest z \(\displaystyle{ \Omega^N}\) w \(\displaystyle{ R^N}\).
Gdy rozważamy \(\displaystyle{ X = [X_1,...,X_N]}\) z \(\displaystyle{ \Omega = \Omega_1^N}\) w \(\displaystyle{ R^N}\) to \(\displaystyle{ \omega = (\omega_1,...,\omega_N)}\) jest wektorem \(\displaystyle{ N}\) liczb, które wcale nie muszą być równe. Nawet gdybyś miał \(\displaystyle{ \omega = (\omega_1,\omega_1,...,\omega_1)}\) wtedy oczywiście \(\displaystyle{ X = [X_1(\omega_1),...,X_N(\omega_1)]}\), ale wcale nie musi być tak że wszystkie współrzędne \(\displaystyle{ X}\) są równe. Równość rozkładów nie pociąga za sobą równości zmiennych. Prosty przykład: \(\displaystyle{ \Omega = \{0,1\}}\), \(\displaystyle{ P(0)=P(1)=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ X_1(0) = 1 = X_2(1), X_1(1) = 0 = X_2(0)}\), teraz \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) mają ten sam rozkład ale nie są równe.
Gdy rozważamy \(\displaystyle{ X = [X_1,...,X_N]}\) z \(\displaystyle{ \Omega = \Omega_1^N}\) w \(\displaystyle{ R^N}\) to \(\displaystyle{ \omega = (\omega_1,...,\omega_N)}\) jest wektorem \(\displaystyle{ N}\) liczb, które wcale nie muszą być równe. Nawet gdybyś miał \(\displaystyle{ \omega = (\omega_1,\omega_1,...,\omega_1)}\) wtedy oczywiście \(\displaystyle{ X = [X_1(\omega_1),...,X_N(\omega_1)]}\), ale wcale nie musi być tak że wszystkie współrzędne \(\displaystyle{ X}\) są równe. Równość rozkładów nie pociąga za sobą równości zmiennych. Prosty przykład: \(\displaystyle{ \Omega = \{0,1\}}\), \(\displaystyle{ P(0)=P(1)=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ X_1(0) = 1 = X_2(1), X_1(1) = 0 = X_2(0)}\), teraz \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) mają ten sam rozkład ale nie są równe.
-
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Środkowa Polska
- Podziękował: 118 razy
Czym jest estymator?
Chodziło mi o dosłowną równość. Załóżmy np: że mamy \(\displaystyle{ N_1, N_2 - \text{ iid } \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\). Czyli wtedy chodzi o to że \(\displaystyle{ N_1, N_2}\) mają takie same dystrybuanty, ale pod te dystrybuant można podpiąć różne zmienne losowe, niekoniecznie takie same (w sensie dosłownym) ?
Jeśli tak, to czy te zmienne losowe muszą mieć w tedy taki sam rozkłady ?
No i nadal chciałbym się dowiedzieć czym jest formalnie \(\displaystyle{ \Omega}\) tudzież \(\displaystyle{ \Omega^\mathbb{N}}\) przy tych czekoladkach (w sensie od strony doświadczenia).
Jeśli tak, to czy te zmienne losowe muszą mieć w tedy taki sam rozkłady ?
No i nadal chciałbym się dowiedzieć czym jest formalnie \(\displaystyle{ \Omega}\) tudzież \(\displaystyle{ \Omega^\mathbb{N}}\) przy tych czekoladkach (w sensie od strony doświadczenia).
Czym jest estymator?
Jeżeli losujemy \(\displaystyle{ N}\) czekoladek spośród \(\displaystyle{ M}\) wyprodukowanych czekoladek i godzimy się na to, aby zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, \ldots, X_N}\) miały rozkład dyskretny to wtedy \(\displaystyle{ \Omega}\) może być zbiorem ciągów czekoladek, np. dla \(\displaystyle{ N=3,}\) \(\displaystyle{ M\geqslant6}\) \(\displaystyle{ \omega}\) może być równa \(\displaystyle{ (\mathrm{czekolada}_5, \mathrm{czekolada}_2, \mathrm{czekolada}_6).}\)PAK pisze:No i nadal chciałbym się dowiedzieć czym jest formalnie \(\displaystyle{ \Omega}\) tudzież \(\displaystyle{ \Omega^\mathbb{N}}\) przy tych czekoladkach (w sensie od strony doświadczenia).
Jeżeli chcemy, żeby zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,\ldots, X_N}\) miały rozkład ciągły lub gdy produkujemy nową czekoladkę, to wtedy \(\displaystyle{ \Omega}\) jest zbiorem ciągów, w których na kolejnych wyrazach stoją masy kolejnych czekoladek, czyli \(\displaystyle{ \Omega=\mathbb{R}^N.}\)