Warunkowa wariacja, błędna odpowiedź na egzaminie?

[kp1311]

Witam, piszę bo nie zgadza mi się odpowiedź do tego zadania.

Treść (egz aktuarialny z PiS 15.06.15 zad5):
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3 ,...,I_1, I_2, I_3,... ,N}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi.
Zmienne \(\displaystyle{ X}\) mają rozkład o wartości oczekiwanej 4 i wariancji 1.
Zmienne \(\displaystyle{ I}\) mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Zmienna \(\displaystyle{ N}\) ma
rozkład ujemny dwumianowy o gęstości:
\(\displaystyle{ (n+1)\left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n}\)
Określamy:
\(\displaystyle{ S_N = 0}\) dla \(\displaystyle{ N=0}\), oraz \(\displaystyle{ S_N = \sum_{k=1}^{N} I_k X_k}\) dla \(\displaystyle{ N>0}\).

Obliczyć \(\displaystyle{ D^2(S_N)}\).

Odpowiedź wg klucza to \(\displaystyle{ D^2(S_N) = \frac{14}{3}}\).
Moja odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{16}{9}}\).
Moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Kładziemy
\(\displaystyle{ Y:=IX}\)

wtedy
\(\displaystyle{ S_N = 0}\) dla \(\displaystyle{ N=0}\), oraz \(\displaystyle{ S_N = \sum_{k=1}^{N} Y_k}\) dla \(\displaystyle{ N>0}\).

\(\displaystyle{ EY = EIX = EIEX = \frac{1}{2}4 = 2}\) (z niezależności)
\(\displaystyle{ D^2(Y) = EY^2 - (EY)^2 = E(I^2)E(X^2) - (EY)^2 =\frac{1}{3}17 - 2^2 = \frac{17-12}{3} = \frac{5}{3}}\) bo \(\displaystyle{ (EX^2 = D^2(X) + (EX)^2=1+4^2 = 17)}\)


\(\displaystyle{ N}\) ma rozkład ujemny dwumianowy o parametrach \(\displaystyle{ r=2,p=\frac{1}{4}}\), więc:
\(\displaystyle{ EN = r\frac{p}{1-p} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ D^2(N) = r\frac{p^2}{1-p} = 1/6}\)

Ze wzoru na wariancję całkowitą:
\(\displaystyle{ D^2(S_N) = (EN)D^2(Y) + (EY)^2 D^2(N)}\)
\(\displaystyle{ D^2(S_N) = \frac{2}{3}\frac{5}{3} + 2^2 \frac{1}{6} = \frac{10}{9} + \frac{6}{9} = \frac{16}{9}}\)

Ok, już nie trzeba, wzór na D^N który wziąłem z polskiej wiki jest zły: powinno być \(\displaystyle{ D^2 (N)=\frac{rp^2}{(1-p)}}\)