Rozmiar testu - wyznaczenie stałej

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ X_1, \dots X_{15}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2)}\), a \(\displaystyle{ Y_1, \dots Y_{15}}\) - niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2)}\). Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry \(\displaystyle{ \mu_1, \mu_2, \sigma}\) - nieznane. Testujemy hipotezę
\(\displaystyle{ H_0: \mu_1=\mu_2}\) przy alternatywnie \(\displaystyle{ H_1: \mu_1 \neq \mu_2}\). Hipotezę \(\displaystyle{ H_0}\) odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ \frac{\left| \overline X-\overline Y\right| }{S}>c}\),
gdzie \(\displaystyle{ \overline X= \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15}X_i, \overline Y= \frac{1}{15} \sum_{j=1}^{15}Y_j, S^2= \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{15} (X_i-Y_i)^2}\).

Wyznaczyć \(\displaystyle{ c}\) tak, aby rozmiar testu był równy \(\displaystyle{ 0,05}\).

(nomen omen) normalnie w takiej sytuacji mamy (przynajmniej tak jest w moich notatkach) następującą statystykę testową:
\(\displaystyle{ T(\underline X, \underline Y)= \frac{15}{ \sqrt{30} } \frac{\overline X-\overline Y}{ \sqrt{ \frac{1}{28}\left( \sum_{i=1}^{15}(X_i-\overline X)^2 + \sum_{j=1}^{15}(Y_j-\overline Y)^2 \right) } }}\)
i przy \(\displaystyle{ H_0}\) miałaby ona rozkład t-Studenta z \(\displaystyle{ 28}\) stopniami swobody. Ale nie wiem, jak tutaj to przekształcić tak, aby do czegokolwiek dojść.
Proszę o jakieś wskazówki. Definicję rozmiaru testu itd. znam, więc proszę pominąć takie pytania.
Z góry serdecznie dziękuję.

-- 1 gru 2016, o 00:13 --

Może zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{30}}\) w zapisie \(\displaystyle{ S^2}\) powinna być \(\displaystyle{ \frac{1}{15}}\), ale to zmieni tylko wynik, a nie rozumowanie.

[janusz47]

Jeżeli hipoteza \(\displaystyle{ H_{0}}\) jest prawdziwa i wszystkie zmienne losowe są niezależne, to

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{m\cdot n}{m+n}} \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{S}\sim N(0,1).}\)

W Tym przypadku \(\displaystyle{ m= n =15.}\)

[Premislav]

janusz47, dziękuję za wypowiedź. Moim zdaniem się jednak mylisz. Czy mógłbyś uzasadnić swoje stwierdzenie lub odesłać mnie do odpowiednich źródeł?

[janusz47]

\(\displaystyle{ X \sim N(\mu, \sigma^2/m), \ \ Y \sim N(\mu, \sigma^2/n).}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{m}(X_{i}- \overline{X})^2\sim \chi^2(m-1),}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{j=1}^{n}(Y_{i}-\overline{Y})^2 \sim \chi^2(n-1),}\)

Patrz na przykład

Mirosław Krzyśko Statystyka Matematyczna strona 221. Wydawnictwo Naukowe UAM Poznań 1996

[Premislav]

Chyba raczej chciałeś napisać, że
\(\displaystyle{ \overline X\sim N(\mu, \sigma^2/m)}\) i \(\displaystyle{ \overline Y \sim N(\mu, \sigma^2/n)}\)

Ja to kojarzę, tylko że nie wiem, jak to się ma do sytuacji z zadania, w której nie znamy odchylenia standardowego.

A za źródło książkowe dziękuję, zobaczę, czy mają to w mojej bibliotece.-- 7 gru 2016, o 20:11 --Nieaktualne.