Zmienne losowe \(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\) są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \theta}\). Pokazać, że estymatory:
a) \(\displaystyle{ \theta_{1}}\)= \(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \theta_{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2x_{2}+3x_{3}}{6}}\)
są estymatorami nieobciążonymi parametru \(\displaystyle{ \theta}\). Który z tych estymatorów jest bardziej efektywny?
Uwaga: dla rozkładu Poisonna postać funkcji gęstości wynosi \(\displaystyle{ P(X = k) = \frac{\theta^{k}}{k!}*e^{-\theta}}\)
dla k=0,1,2.....
Wiadomo, że E(X)=\(\displaystyle{ \theta}\) oraz V(X)=\(\displaystyle{ \theta}\)
Podpowiedział by ktoś jak zabrać się za to zadnie
Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja
To chyba jest proste. Najpierw policz wartości oczekiwane - wyjdzie \(\displaystyle{ \theta,}\) czyli to są estymatory nieobciążone.
A w kwestii efektywności to pewnie wystarczy obliczyć i porównać wariancje, im mniejsza wariancja, tym lepiej.
A w kwestii efektywności to pewnie wystarczy obliczyć i porównać wariancje, im mniejsza wariancja, tym lepiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 lis 2016, o 16:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja
czyli jeżeli dobrze zrozumiałem jak mam podane w definicji zadania, że E(X) = \(\displaystyle{ \theta}\), na podstawie tego stwierdzam, że obydwa estymatory są nieobciążone. Następnie musze je porównać który jest lepszy (bardziej efektywny) aby tego dokonać trzeba porównać wariancję ale skoro mam podane że V(X) = \(\displaystyle{ \theta}\) to należy porównać to
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\)
z
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2x_{2}+3x_{3}}{6}}\)
?
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\)
z
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2x_{2}+3x_{3}}{6}}\)
?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja
To chyba nic nie rozumiesz. Ty masz policzyć odpowiednie wartości oczekiwane.
1) korzystając z liniowości wartości oczekiwanej masz
a) \(\displaystyle{ \mathbf{E}\theta_1=\mathbf{E}\left[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \right] = \frac{1}{3}\mathbf{E}x_1+\frac 1 3 \mathbf{E}x_2+\frac 1 3\mathbf{E}x_3= \frac{\theta+\theta+\theta}{3} =\theta}\)
b) analogicznie robisz.
2) korzystając z tego, że wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma wariancji poszczególnych zmiennych oraz z faktu że \(\displaystyle{ Var [c \cdo X]=c^2Var[X]}\) dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ze skończonym drugim momentem i stałej rzeczywistej \(\displaystyle{ c}\), liczysz wariancję estymatorów \(\displaystyle{ \theta_1}\) i \(\displaystyle{ \theta_2}\)
1) korzystając z liniowości wartości oczekiwanej masz
a) \(\displaystyle{ \mathbf{E}\theta_1=\mathbf{E}\left[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \right] = \frac{1}{3}\mathbf{E}x_1+\frac 1 3 \mathbf{E}x_2+\frac 1 3\mathbf{E}x_3= \frac{\theta+\theta+\theta}{3} =\theta}\)
b) analogicznie robisz.
2) korzystając z tego, że wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma wariancji poszczególnych zmiennych oraz z faktu że \(\displaystyle{ Var [c \cdo X]=c^2Var[X]}\) dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ze skończonym drugim momentem i stałej rzeczywistej \(\displaystyle{ c}\), liczysz wariancję estymatorów \(\displaystyle{ \theta_1}\) i \(\displaystyle{ \theta_2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 14 lis 2016, o 16:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja
Dzięki za wyjaśnienie troche zajęło mi ogarnięcie tego ale już wiem o co chodzi