Zmienne losowe (rozkładem Poissona) estymacja

[DeSh30]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\) są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \theta}\). Pokazać, że estymatory:

a) \(\displaystyle{ \theta_{1}}\)= \(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \theta_{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2x_{2}+3x_{3}}{6}}\)

są estymatorami nieobciążonymi parametru \(\displaystyle{ \theta}\). Który z tych estymatorów jest bardziej efektywny?

Uwaga: dla rozkładu Poisonna postać funkcji gęstości wynosi \(\displaystyle{ P(X = k) = \frac{\theta^{k}}{k!}*e^{-\theta}}\)
dla k=0,1,2.....
Wiadomo, że E(X)=\(\displaystyle{ \theta}\) oraz V(X)=\(\displaystyle{ \theta}\)

Podpowiedział by ktoś jak zabrać się za to zadnie

[Premislav]

To chyba jest proste. Najpierw policz wartości oczekiwane - wyjdzie \(\displaystyle{ \theta,}\) czyli to są estymatory nieobciążone.
A w kwestii efektywności to pewnie wystarczy obliczyć i porównać wariancje, im mniejsza wariancja, tym lepiej.

[DeSh30]

czyli jeżeli dobrze zrozumiałem jak mam podane w definicji zadania, że E(X) = \(\displaystyle{ \theta}\), na podstawie tego stwierdzam, że obydwa estymatory są nieobciążone. Następnie musze je porównać który jest lepszy (bardziej efektywny) aby tego dokonać trzeba porównać wariancję ale skoro mam podane że V(X) = \(\displaystyle{ \theta}\) to należy porównać to

\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}\)
z

\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2x_{2}+3x_{3}}{6}}\)

?

[Premislav]

To chyba nic nie rozumiesz. Ty masz policzyć odpowiednie wartości oczekiwane.

1) korzystając z liniowości wartości oczekiwanej masz
a) \(\displaystyle{ \mathbf{E}\theta_1=\mathbf{E}\left[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \right] = \frac{1}{3}\mathbf{E}x_1+\frac 1 3 \mathbf{E}x_2+\frac 1 3\mathbf{E}x_3= \frac{\theta+\theta+\theta}{3} =\theta}\)
b) analogicznie robisz.

2) korzystając z tego, że wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma wariancji poszczególnych zmiennych oraz z faktu że \(\displaystyle{ Var [c \cdo X]=c^2Var[X]}\) dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) ze skończonym drugim momentem i stałej rzeczywistej \(\displaystyle{ c}\), liczysz wariancję estymatorów \(\displaystyle{ \theta_1}\) i \(\displaystyle{ \theta_2}\)

[DeSh30]

Dzięki za wyjaśnienie troche zajęło mi ogarnięcie tego ale już wiem o co chodzi