Ostatnio spotkałem się z następującą charakterystyką kwantyla.
\(\displaystyle{ q_{\theta}=\arg \min_{m} \mathbb{E}[(\theta- I(Y<m))(Y-m)]}}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza funkcję charakterystyczną zbioru.
Definicja, jaką znałem ja to: \(\displaystyle{ q_{\theta}=\inf \{ x \in \mathbb{R}: F_{Y}(x) \ge \theta \}}\)
Czy kwantyl zdefiniowany w ten pierwszy sposób jest rzeczywiście równoważny podanej przeze mnie definicji? W jaki sposób można to pokazać? Czy spotkaliście się już wcześniej z taką charakterystyką kwantyla i jeśli tak to gdzie?