Rozkład nieciągły - wartosc oczekiwana, wariancja

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 10:26

Niech X będzie generatorem idealnym, który przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1 }{2}}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1 }{2}}\),
wartosc \(\displaystyle{ \frac{1 }{3}}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1 }{3}}\) i ma rozkład równomierny w zbiorze \(\displaystyle{ < 0, \frac{1 }{3} ) \cup \left(\frac{1 }{3}, \frac{1 }{2}\right) \cup (\frac{1 }{2}, 1>}\). Wyznacz:
Wartość oczekiwaną
Wariancję
Prawdopodobieństwo, że wygenerowany ciąg jest okresowy

Wartość oczekiwaną policzyłbym tak:
\(\displaystyle{ \frac{1 }{2} \cdot \frac{1 }{2} + \frac{1 }{3} \cdot \frac{1 }{3} + \int_{0}^{\frac{1 }{3}} x \cdot \frac{1}{6} \mbox{d}x + \int_{\frac{1 }{3}}^{\frac{1 }{2}} x \cdot \frac{1}{6} \mbox{d}x + \int_{\frac{1 }{2}}^{1} x \cdot \frac{1}{6} \mbox{d}x}\)
Czy to jednak ma jakikolwiek sens? Czy potrzebuję jakiejś innej definicji prawdopodobieństwa, żeby liczyć takie wartości
Wariancji nie potrafię policzyć.
Okresowość to chyba ma sens tylko, jeśli będzie generował wartości 1/2 i 1/3, bo wydaje mi się, że prawdopodobieństwo ciągu wybranego losowo z rzeczywistego przedziału jest zerowa.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 10:31

Intuicja jest ok, ale całka jest źle zapisana.

Wpisz sobie w google

rozkład mieszany wartość oczekiwana

i będziesz miał przykłady nawet

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 10:49

Poprawiono. Mogę teraz policzyć E(x) ale jak zabrać się do wariancji?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 11:05

Dalej całka jest źle. Zerknij jaki masz przedział w tym rozkładzie

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 11:22

Chodzi o to, że przedział jest sumą trzech rozłącznych przedziałów? Czy to ma jakieś znaczenie dla tej całki?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 11:23

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 11:35

Z tego co pamiętam, to rozłożenie całki na trzy przedziały nie będzia miało znaczenia dla wyniku (liniowość) ale może rozkład ma być różny w tych rozdziałach? Chociaż ja tak rozumiem rozkład równomierny.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 11:37

Poczytaj serio jak działa rozkład równomierny, bo widzę braki

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 11:43

Rozkład równomierny - funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest stała.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 11:53

I całkujesz po czym?

RJerzy · Post autor: **RJerzy** » 21 paź 2016, o 12:00

Przez x razy gęstość. Gęstość to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{b-a} , b=1, a = 0}\). Przeskalowalem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\), żeby prawdopodobieństwa sumowały się do 1.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2016, o 12:03

No wlasnie tutaj masz blad, przedział to nie jest \(\displaystyle{ (0,1)}\) więc i gęstość i przedział całkowania inaczej wyglądają