Dystrybuanta i rozkład

[nescafe22]

Niech \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) oznaczają zdarzenia losowe polegające na rzucie kostką sześcienną. Narysować rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zdarzenia \(\displaystyle{ X_2+X_1}\). Prosiłbym o poglądowy rysunek do tego zadania

[squared]

Dystrybuantę można zrobić dla zmiennej losowej. I chyba to miałeś na myśli?

[nescafe22]

Dystrybuantę można zrobić dla zmiennej losowej. I chyba to miałeś na myśli?

Tak

[squared]

Zacznij od wyznaczenia rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1}\) (która jest taka sama jak \(\displaystyle{ X_2}\)).

\(\displaystyle{ X_1}\) to zmienna losowa przyporządkowująca numerkowi oczka, prawdopodobieństwo jego wypadnięcia. Zapisz w postaci tabeli.

[nescafe22]

Zacznij od wyznaczenia rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1}\) (która jest taka sama jak \(\displaystyle{ X_2}\)).

\(\displaystyle{ X_1}\) to zmienna losowa przyporządkowująca numerkowi oczka, prawdopodobieństwo jego wypadnięcia. Zapisz w postaci tabeli.

To czyli jeśli będą takie same to wszystkich możliwości będzie 6 ? Czy jednak 36. Mógłbyś to rozpisać jak to ma wyglądać ??

[squared]

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1}\):
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
X_1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\mathbr{P}\{x=x_i\} & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6
\end{tabular}}\)

Analogicznie rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_2}\):
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
X_2& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\mathbr{P}\{y=y_i\} & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6
\end{tabular}}\)

To chyba jest jasne?

A teraz \(\displaystyle{ U=X_1+X_2}\). Reguła jest prosta. Bierzemy teraz wszystkie możliwe punkty \(\displaystyle{ u_k=x_i+y_j}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i}\) to elementy z rozkładu \(\displaystyle{ X_1}\) tzn. \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6}\). Tak samo \(\displaystyle{ y_i}\) to elementy z rozkładu \(\displaystyle{ X_2}\). Pozostaje wtedy wyznaczenie rozkładu \(\displaystyle{ \mathrm{P}\{u=u_k\}=\sum \mathrm{P}\{x=x_j\}\mathrm{P}\{y=y_j\}}\).

Przykładowo \(\displaystyle{ 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \mathrm{P}\{u=6\}=\sum \mathrm{P}\{x=x_j\}\mathrm{P}\{y=y_j\}=
\mathrm{P}\{x=1\}\mathrm{P}\{y=5\} +
\mathrm{P}\{x=2\}\mathrm{P}\{y=4\} +
\mathrm{P}\{x=3\}\mathrm{P}\{y=3\} +
\mathrm{P}\{x=4\}\mathrm{P}\{y=2\} +
\mathrm{P}\{x=5\}\mathrm{P}\{y=1\}=\frac{5}{36}}\)

Analogicznie robimy pozostałem możliwe do uzyskania liczby. Tak samo byśmy robili np. dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_1\cdot X_2}\). Zatem wyznacz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=X_1+X_2}\).